Gruppi fondamentali

[ubermensch]

Come si possono definire e/o costruire la bottiglia di Klein e il nastro di Moebius?
e quali sono i loro gruppi fondamentali?

grazie,
Saluti

[ubermensch]

Mi sembra che il nastro di Mebius si ritrae per deformazione alla circonferenza e quindi il suo gruppo fondamentale dovrebbe essere Z.
Invece, per quanto riguarda la bottiglia di Klein, mi sembra di aver trovato una dimostrazione che dia il prodotto semidiretto $ Z\times_{\varphi}Z $...

Infatti la bottiglia di Klein può essere costruita quozientando $ R^2 $ col sottogruppo del gruppo degli omeomorfismi generato da
$ a(x,y)=(x+1,-y), b(x,y)=(x,y+1) $. E tale gruppo, essendo $ bab=a $ è il prodotto semidiretto suddetto. Ora è noto che se $ X $ è uno spazio topologico connesso e $ G $ un sgr di $ Omeo(X) $ che agisce in modo propriamente discontinuo su $ X $, allora il gruppo fondamentale del quoziente è isomorfo a $ G $. Osservando che il sgr definito agisce in modo discontinuo (manda palle di raggio <1 da tutt'altra parte!) si ha la tesi.

commenti?

[EvaristeG]

Allora, non ho capito se questi esercizi li proponi a noi e tu li hai fatti, oppure se vuoi una mano per farli ... se la seconda è quella giusta, ti consiglierei di aprire un qualunque libro di topologia algebrica (Kosniowski o Hatcher vanno benissimo ... ma ce ne sono mille altri) e di cercare risposta lì ... non lo dico con cattiveria : sono argomenti abbastanza sottili da meritare una trattazione accurata quale quella che può dare un libro, ben maggiore di quanto si possa fare in un post sul forum.
Se invece l'alternativa giusta è la prima ... passo l'onere della soluzione a qualcun altro ... su questi argomenti, ho già dato.

[ubermensch]

Il "mi sembra" che anticipa le mie soluzioni rispondono implicitamente alla tua domanda: inizialmente non avevo idea di come farli, ma, si sa, la notte porta consiglio...
comunque ti ringrazio per il consiglio: cercherò di dare un'occhiata a quei testi.

Saluti