Ancora sui rivestimenti (l'ultimo!... forse)

[ubermensch]

Mostrare che per ogni naturale $ n $ la mappa $ f:C^*\rightarrow C^* $ definita da $ f(z)=z^n $ riveste C* con n fogli.

[Marco]

...mmm... sono un po' arrugginito, e potrei sbagliarmi...

Non basta dire che la mappa è sempre localmente invertibile in modo diffeomorfo? Che i fogli siano n, deriva dal fatto che le radici n-me sono n.

[ubermensch]

diciamo che mi fido di te...
non conosco nessun teorema che mi dice che "una mappa localmente invertibile
in modo diffeomorfo è un rivestimento"...
per quanto riguarda il numero dei fogli, sono d'accordissimo

[Nonno Bassotto]

In effetti bisogna usare che il numero di fogli è finito, oltre che è un diffeo locale. Preso un punto nell'immagine p, questo ha un numero finito q_1, ..., q_n di controimmagini. Essendo un numero finito c'è un intorno U di p e intorni U_i di q_i disgiunti tali che la controimmagine di U è l'unione disgiunta degli U_i, cioè U è ben rivestito. Dunque la mappa è un rivestimento.
Se fossero in numero infinito gli intorni di p che realizzano i diversi diffeomorfismi potrebbero avere come intersezione il solo p.

[Nonno Bassotto]

Può essere carino anche vedere un esempio di un diffeo locale che non è un rivestimento a causa di quello che ho detto sopra. Ovviamente si può costruire più o meno a mano, ma darò un esempio un po' più naturale, che si incontra in matematica. La cosa è un po' lunghetta, ma tant'è. Spero che non sia troppo complicato, serve un po' di familiarità con le funzioni olomorfe.

Dato un punto z di C definisco un germe di funzione olomorfa in z. Questo è una classe di equivalenza di coppie (U,f), dove U è un intorno di z e f è una funzione olomorfa su U. La relazione dice che (U,f) e (V,g) sono equivalenti se esiste un intorno W di z più piccolo di U e di V tale che f e g si restringono alla stessa funzione su W. Intuitivamente un germe è una funzione olomorfa definita su un intorno arbitrariemente piccolo di z. Un germe è determinato dal suo sviluppo di Taylor in z, e viceversa una serie formale con raggio di convergenza non nullo determina un germe in z.

Considero ora l'insieme X di tutte le coppie (z, f_z) dove z è un punto di C e f_z un germe di funzione olomorfa in z. Questo ha una mappa naturale
p:X-->C
che manda (z, f_z) in z. Mettiamo su X una topologia dando un sistema fondamentale di intorni di ogni suo punto.

Sia (z, f_z) un punto di X. f_z è rappresentato da varie coppie del tipo (U,f). Questa coppia determina dei germi di funzione olomorfa in ogni punto di U. Chiamo N l'insieme di questi germi, cioè $ N= \{(w, f_w)| \, w \in U \}. $ Dico che N è un intorno di (z, f_z). Ripetendo per ogni possibile rappresentante trovo un sistema fondamentale di intorni. Questa topologia è costruita in modo che la proiezione p sia un omeomorfismo locale (provate a verificarlo, è piuttosto involuto, ma la definizione è fatta apposta a questo scopo).

Se uno poi vuole che p sia un diffeomorfismo locale (ma questo è un passo sostanzialmente superfluo) bisogna dare a X la struttura di varietà. Le carte per X saranno date dalla proiezione su C su aperti sufficientemente piccoli; in questo modo p diventa per costruzione un diffeo locale.

Però questo non è un rivestimento. Vediamo di capire perché. Prendiamo un punto z di C, e vediamo se ha un intorno U ben rivestito. Se f è olomorfa su U, abbiamo nella controimmagine di z il punto (z, f_z). Questo ha un intorno N come sopra che è diffeomorfo a U, e fin qui tutto bene. Il punto è che l'aperto U che possiamo prendere dipende dall'insieme di definizione della funzione f. Cioè, se ho un germe f_z in z, avrò un diffeomorfismo tra un intorno di (z, f_z) in X e la sua proiezione su C; ma quanto sia grande la proiezione dipende da quanto riesco ad estendere la funzione olomorfa intorno a z. Questo intuitivamente dovrebbe spiegare cosa può fallire nel caso in cui la controimmagine di un punto sia infinita.

Per vedere che effettivamente non è un rivestimento, vediamo che non vale la proprietà di sollevamento dei cammini. Prendiamo un cammino in C che va in linea retta dal punto 1 al punto 0 diciamo t -->1-t, visto come punto di C. Proviamo a sollevarlo a partire dal punto (1, 1/z) in X. Il fatto che p sia un omeomorfismo locale mi dice che il sollevamento, se esiste, è unico. Dunque il sollevamento al tempo t è (1-t, 1/z). Però non c'è modo di estendere questo cammino al tempo 1 (cioè sopra il punto 0 di C), perché nessuna funzione olomorfa in 0 coincide con 1/z in un intorno di 0.

Uff, che fatica. Spero che si capisca qualcosa (e che freghi a qualcuno, comunque era un esempio carino).