Asta, 2 palle, pallina interna con molla...poi tutto ruota..

[Gauss_87]

Propongo il seguente problemino abbastanza fattibile:

Un'asta di lunghezza $ 2l $ su un piano orizzontale (niente $ \vec{g} $) è vincolata al centro da un perno per cui è libera di ruotare attorno ad esso.

Alle estremità ha attaccate 2 palline di uguale massa $ m $.

All'interno dell'asta c'è una pallina di massa $ m $ la quale si trova a distanza $ \frac{l}{2} $ dal centro.

Anche una molla, costante elastica $ k $, lunghezza a riposo $ \frac{l}{2} $ si trova all'interno dell'asta: essa ha il centro dell'asta ad un estremo e all'altro la pallina interna.

Tutto è in quiete all'inizio, quindi, ma arriva un impulso $ J $ perperdicolare alla direzione dell'asta, sulla pallina esterna più lontana da quella interna.

Calcolare:

a) L'accelerazione delle 3 palline all'istante immediatamente successivo alla ricezione dell'impulso;

b) l'impulso necessario affinchè la pallina interna tocchi quella esterna più vicina con velocità relativa nulla;

c) l'accelerazione assoluta di ciascuna delle 3 palline nell'istante descritto al punto (b).

Dai ragazzi non credo avrete particolari problemi! Bye

[marcox^^]

non ci posso credere! I problemi d'esame del mitico Angelini invadono anche questo forum!

P.S. Hai dimenticato (credo) di specificare che la pallina interna è inanellata all'asta e libera di scorrere su di essa, vabbè, si capiva...

[Gauss_87]

Si è un problema di un mio amico + grande mio concittadino!
Forza, la soluzione non è difficile!!!

[Bacco]

Ho un dubbio sul testo.... che vuol dire "immediatamente successivo alla ricezione dell'impulso"? Intendi l'acc. media istantanea tangenziale o quella centripeta subito dopo la fine dell'impulso?

Conviene usare il momento angolare: $ L=I\omega = Mt = Jl $ (scusate le notazioni poco ortodosse). Si ottiene $ \omega_0=\frac{4J}{9ml} $ da cui si possono calcolare entrambe le cose.

Per la cons. del momento angolare, $ \omega_1=\frac{J}{3ml} $.

Se arriva con vel. rel. nulla, si sa che l'energia (che si conserva durante l'estensione della molla) è quella puramente rotazionale, da cui si ottiene $ J=\sqrt{\frac{9kml^2}{4}} $.

Allora le palline fisse avranno la sola acc. centripeta alla nuova velocità, l'altra pallina l'acc. data dalla molla meno quella centrifuga.

Spero di non aver sbagliato, ciao

[Gauss_87]

Ho un dubbio sul testo.... che vuol dire "immediatamente successivo alla ricezione dell'impulso"? Intendi l'acc. media istantanea tangenziale o quella centripeta subito dopo la fine dell'impulso?

Gauss_87 scrive:
Quella centripeta subito dopo la fine dell'impulso!



Per quanto riguarda $ J $ non vorrei aver sbagliato i calcoli (ma sicuramente li ho sbagliati!) a me viene: $ J = 3l \sqrt{km} $ quindi senza quel fattore moltiplicativo di $ \frac{1}{2} $, cmq adesso ricontrollo.

Ok, anche il terzo punto è giusto! Grande Bacco!

Bye

[Flavio5x]

Le soluzioni di Bacco le ho ricalcolate e mi sembrano giuste. Vorrei solo condividere con voi qualche considerazione a corollario.
Considerando gli istanti iniziale e finale del movimento della palla mobile, potrebbe venire il sospetto che in questi due istanti l'accelerazione tangenziale non fosse nulla. L'accelerazione tangenziale infatti deve essere in generale diversa da zero finché la pallina si muove, poichè la $ \omega_1 $ è minore della $ \omega_0 $, come è logico. Ma agli istanti iniziale e finale l'accelerazione tangenziale è nulla perchè in quegli istanti sono nulle le velocità della pallina lungo l'asta. Infatti detta r la distanza della pallina mobile dal centro, si ha $ \alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d\omega}{dr}\frac{dr}{dt}=\frac{d\omega}{dr}v_r $. Essendo nulla la $ v_r $ (mentre invece non è nulla la$ \frac{d\omega}{dr} $), anche la $ \alpha $ è nulla, e allora rimangono solo le accelerazioni centripete. Vi ritrovate?

[Gauss_87]

Si Flavio5x, l'avevo capito che l'accelerazione fosse solo centripeta...
Cmq giusta precisazione!

[Gauss_87]

ah,
e se considerassimo il moto senza il perno al centro dell'asta???
Allora l'asta ruota e trasla!
Come rispondere alle stesse domande dell'esercizio "vincolato" ???
pensiamoci un po su!

PS: non riesco proprio a staccarmi da qst forum malgrado dovrei studiare per gli esami!!! Bye