Jessen
-
Franchifis
- Messaggi: 149
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pisa
Jessen
Che cosa ci dice Jessen a proposito delle disuguaglianze? Ho visto che qualcuno lo cita dopo essersi assicurato che una qualche funzione è convessa o qualcosa del genere.
Disuguaglianza di Jensen
Sia $ f(\cdot) $ una funzione convessa sui reali positivi. Presi $ \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n $ reali positivi tali che $ \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1 $ e $ x_1,x_2,\dots ,x_n $ reali positivi.
Allora:
$ \lambda_1*f(x_1)+\lambda_2*f(x_2)+\dots+\lambda_n*f(x_n)\ge $$ f\left( \lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots+\lambda_nx_n\right) $
Per $ $ \lambda_i=\frac{1}{n}\qquad \forall 1\le i\le n $ si ha la disuguaglianza enunciata da pic88.
Se $ f(\cdot) $ è concava vale la disuguaglianza opposta.
Sia $ f(\cdot) $ una funzione convessa sui reali positivi. Presi $ \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n $ reali positivi tali che $ \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1 $ e $ x_1,x_2,\dots ,x_n $ reali positivi.
Allora:
$ \lambda_1*f(x_1)+\lambda_2*f(x_2)+\dots+\lambda_n*f(x_n)\ge $$ f\left( \lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots+\lambda_nx_n\right) $
Per $ $ \lambda_i=\frac{1}{n}\qquad \forall 1\le i\le n $ si ha la disuguaglianza enunciata da pic88.
Se $ f(\cdot) $ è concava vale la disuguaglianza opposta.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Allora... se non sbaglio la definizione di "convessità" sta nella disuguaglianza di Jensen stessa... comunque:
INTUITIVAMENTE: una funzione è CONVESSA (o CONCAVA VERSO L'ALTO) se.. come dire, assume un andamento a forma di una "u", come un raccoglitore; viceversa è CONCAVA (o CONCAVA VERSO IL BASSO) se, al contrario, il suo andamente assume una forma a "u" rovesciata (come un raccoglitore rovesciato). Questo per capirci.
POI: c'è una definizione formale di convessità legata alla disuguaglianza di Jensen, come già detto, però operativamente è utile un teoremino di analisi che afferma che una funzione è CONVESSA per quelle $ $x$ $ che verificano:
$ $f''(x) > 0$ $
dove $ $f''(x)$ $ sta ad indicare la derivata seconda della funzione $ $f(x)$ $...
INTUITIVAMENTE: una funzione è CONVESSA (o CONCAVA VERSO L'ALTO) se.. come dire, assume un andamento a forma di una "u", come un raccoglitore; viceversa è CONCAVA (o CONCAVA VERSO IL BASSO) se, al contrario, il suo andamente assume una forma a "u" rovesciata (come un raccoglitore rovesciato). Questo per capirci.
POI: c'è una definizione formale di convessità legata alla disuguaglianza di Jensen, come già detto, però operativamente è utile un teoremino di analisi che afferma che una funzione è CONVESSA per quelle $ $x$ $ che verificano:
$ $f''(x) > 0$ $
dove $ $f''(x)$ $ sta ad indicare la derivata seconda della funzione $ $f(x)$ $...
...
O comunque, una via di mezzo tra l'"intuitivamente" e la definizione è:
Una funzione è convessa se in qualunque modo scelgo due punti del suo grafico, il segmento che li collega sta sopra il grafico. (Pensa a $ x^2 $)
Questo corrisponde a:
$ \forall x_1,x_2 \in I, \qquad \forall \lambda_1, \lambda_2 : \lambda_1 + \lambda_2=1, $ $ \qquad \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2) \ge f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2x_2) $
Il passo successivo è dire che, se vale questo, allora vale la stessa cosa per ogni numero di punti e pesi (le lambde) che si scelgono, ottenendo la disuguaglianza che ha scritto Boll.
In pratica la disuguaglianza mostra che, essendo la funzione convessa, ci si guadagna di più a fare la media tra i valori che la funzione assume in certi punti, piuttosto che andare a guardare il valore che assume del loro "punto medio".
Disegno:
La funzione è $ \frac {x^2} 3 $ e si vede subito che è convessa.
Sotto ho scelto tre punti a caso, il loro punto medio è quello arancione, in cui la funzione assume un certo valore (evidenziato dalla riga arancione verticale).
Se invece vado a vedere i valori che la funzione assume nei tre punti (righe blu) e faccio la media tra questi valori, (righine orrizzontali blu), ottengo il pallino rosso più in alto, che è maggiore.
Una funzione è convessa se in qualunque modo scelgo due punti del suo grafico, il segmento che li collega sta sopra il grafico. (Pensa a $ x^2 $)
Questo corrisponde a:
$ \forall x_1,x_2 \in I, \qquad \forall \lambda_1, \lambda_2 : \lambda_1 + \lambda_2=1, $ $ \qquad \lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2) \ge f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2x_2) $
Il passo successivo è dire che, se vale questo, allora vale la stessa cosa per ogni numero di punti e pesi (le lambde) che si scelgono, ottenendo la disuguaglianza che ha scritto Boll.
In pratica la disuguaglianza mostra che, essendo la funzione convessa, ci si guadagna di più a fare la media tra i valori che la funzione assume in certi punti, piuttosto che andare a guardare il valore che assume del loro "punto medio".
Disegno:
La funzione è $ \frac {x^2} 3 $ e si vede subito che è convessa.
Sotto ho scelto tre punti a caso, il loro punto medio è quello arancione, in cui la funzione assume un certo valore (evidenziato dalla riga arancione verticale).
Se invece vado a vedere i valori che la funzione assume nei tre punti (righe blu) e faccio la media tra questi valori, (righine orrizzontali blu), ottengo il pallino rosso più in alto, che è maggiore.
-
Franchifis
- Messaggi: 149
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pisa
...