(Messico 1987) Sia $ ABCD $ un tetraedro. Il piano $ ABC $ è perpendicolare alla retta $ BD $. $ \displaystyle A\widehat DB = C\widehat DB = 45° $ e $ \displaystyle A\widehat BC = 90° $. Trovare $ \displaystyle A\widehat DC $. Un piano passante per $ A $ e perpendicolare alla retta $ AD $ incontra la retta $ BD $ in $ Q $ e la retta $ CD $ in $ R $. Se $ \displaystyle AD=1 $, trovare $ AQ $, $ AR $ e $ QR $.
Bye,
#Poliwhirl#
Tetraedro semplice semplice
-
pic88
- Messaggi: 741
- Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
AD=1 allora AB=BD=BC1/rad(2) e CD=1. Lo sviluppo su superficie piana del solido renderà evidenti questi fatti. ACD è pertanto equilatero.angolo ADC=60°.Poi abbiamo AQ=1 perchè Q è sul piano ABD,
AR=rad(3). QR si trova perchè l'angolo compreso tra AR e AQ è determinato univocamente (ed è arccos(1/rad(3))
Mah... ci provo.
Si vede subito che questo tetraedro è "tagliato" dal vertice di un cubo, passando per tre vertici. AD,DC,AC diagonali delle facce del cubo, quindi ADC è equilatero e $ A\widehat DC = 60° $.
Poi: $ Q \widehat A D = B \widehat D A = 45°, D \widehat A Q = 90° \Rightarrow A\widehatQD=45° $.
Il triangolo AQD è un mezzo-quadrato con lato che misura 1. Quindi AQ= 1 e $ QD=\sqrt 2 $.
R si trova sulla retta DC, quindi $ \widehat RDQ = 45° $ . Inoltre, a occhio, RD:CD = QD:BD, da cui RD=1. Quindi anche RQD è un mezzo-quadrato con diagonale RD, da cui $ QR=QD=\sqrt 2 $.
L'angolo $ A\widehatQR $ è retto perchè... non saprei dimostrare neanche questo (maledetta geometria in tre dimensioni!!)
Ma da qui si ottiene con pitagora che $ AR=\sqrt 5 $.
Si vede subito che questo tetraedro è "tagliato" dal vertice di un cubo, passando per tre vertici. AD,DC,AC diagonali delle facce del cubo, quindi ADC è equilatero e $ A\widehat DC = 60° $.
Poi: $ Q \widehat A D = B \widehat D A = 45°, D \widehat A Q = 90° \Rightarrow A\widehatQD=45° $.
Il triangolo AQD è un mezzo-quadrato con lato che misura 1. Quindi AQ= 1 e $ QD=\sqrt 2 $.
R si trova sulla retta DC, quindi $ \widehat RDQ = 45° $ . Inoltre, a occhio, RD:CD = QD:BD, da cui RD=1. Quindi anche RQD è un mezzo-quadrato con diagonale RD, da cui $ QR=QD=\sqrt 2 $.
L'angolo $ A\widehatQR $ è retto perchè... non saprei dimostrare neanche questo (maledetta geometria in tre dimensioni!!)
Ma da qui si ottiene con pitagora che $ AR=\sqrt 5 $.