Another (trivial) inequality

[Ani-sama]

Allora... siano $ $a,b,c$ $ reali positivi tali che $ $a+b+c=1$ $. Dimostrare che:

$a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}$


P.S.

Sarei quasi tentato, visti i precedenti, di istituire un concorso del tipo "chi trova la soluzione più assurda e contorta ad una disuguaglianza di difficoltà minima" come potrebbe essere questa...

Buon divertimento!

[hydro]

$ QM\geq AM $

[thematrix]

...nella forma in cui volete,ma c'è sempre lui!!!
Attenti alla maledizione di $ CAUCHY - SCHWARZ $!!!

[Marco]

Beh, se valgono le soluzioni assurde e contose, perché non scomodare i Moltiplicatori di Lagrange? Tuttavia l'esercizio è talmente semplice, che perfino MdL sono assolutamente semplici... Anche se non consentono di dire che il punto stazionario sia una minimo assoluto...

$ \Phi(a,b,c,\lambda) = a^2 + b^2 + c^2 + \lambda ( a + b + c - 1) $

Dalle derivate rispetto ad $ a,b,c $ si ricava

$ 2a + \lambda = 2b + \lambda = 2c + \lambda = 0 $,

da cui banalmente $ a = b = c $.

Mettendo in sistema con il vincolo si dimostra che l'unico punto stazionario è $ a = b = c = 1/3 $, dove la funzione obiettivo vale (pensa un po'...) 1/3.

[enomis_costa88]

Per Mac laurin:
$ s^2=1\ge 3 q $
$ q\leq \frac{1}{3} $
ovvero:
$ s^2-2p=1-2q\ge\frac{1}{3} $
che è la tesi.

[Marco]

Altra soluzione assurda (ma non troppo...).

Interpretiamo il problema geometricamente, dove a,b,c solo le coordinate in uno spazio cartesiano.

Il vincolo a+b+c=1 è l'equazione di un piano, di cui vogliamo trovare il punto di distanza minima dall'origine. [meglio: vogliamo il quadrato della distanza...]

Una formuletta che si impara al liceo dice che la distanza dall'origine del piano di equazione

$ \alpha a + \beta b + \gamma c + \delta = 0 $

è data da

$ \frac{|\delta|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}} $

Nel nostro caso, $ \alpha = \beta = \gamma = -\delta = 1 $.

Fate il conto e la distanza viene $ 1/\sqrt 3 $, da cui la tesi.[]

[pic88]

oppure Jensen: $ f(x)=x^2 $ è convessa allora
$ f(a)+f(b)+f(c)\geqslant3f(\frac{a+b+c}{3})=3\frac{1}{9}=\frac{1}{3} $

[Ani-sama]

oppure Jensen: $ f(x)=x^2 $ è convessa allora
$ f(a)+f(b)+f(c)\geqslant3f(\frac{a+b+c}{3})=3\frac{1}{9}=\frac{1}{3} $

Questa è la mia soluzione

[Marco]

Another one. Just dear old Algebra...

$ $ \left( x-\frac 1 3 \right)^2 + \left( y-\frac 1 3 \right)^2 + \left( z-\frac 1 3 \right)^2 \geqslant 0 $
$ $ x^2 + y^2 + z^2 - \frac 2 3 (x + y + z) + \frac 1 3 \geqslant 0 $
$ $ x^2 + y^2 + z^2 - \frac 2 3 + \frac 1 3 \geqslant 0 $
$ $ x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \frac 1 3 $ []