Chi sarà il più grande?

[Franchifis]

Tutti questi problemi li ho presi dalle olimpiadi russe.
Per ognuna delle seguenti coppie di numeri, dire quale dei due è il maggiore:

1. $ 99^n+100^n $ oppure $ 101^n $ (per ogni $ n $ naturale)

2. $ 100^{300} $ oppure $ 300! $

3. $ 1000^{1000} $ oppure $ 1001^{999} $

4. $ 1.000001^{1000000} $ oppure $ 2 $

5. $ \frac {2.00000000004}{(1.00000000004)^2+2.00000000004} $ oppure $ \frac {2.00000000002}{(1.00000000002)^2+2.00000000002} $

[Br1]

3. $ 1000^{1000} $ oppure $ 1001^{999} $

Il fatto che, per ogni intero positivo $ n $:

$ 3>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $

è un risultato noto. Abbiamo quindi:

$ 3>\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000}>\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{999}. $

Ora, poiché 1000>3, abbiamo anche:

$ 1000>\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{999} $

ossia:

$ 1000^{1000}>1001^{999}. $

[Ani-sama]

3. $ 1000^{1000} $ oppure $ 1001^{999} $

Il fatto che, per ogni intero positivo $ n $:

$ 3>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $

è un risultato noto. Abbiamo quindi:

$ 3>\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000}>\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{999}. $

Ora, poiché 1000>3, abbiamo anche:

$ 1000>\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{999} $

ossia:

$ 1000^{1000}>1001^{999}. $

Ma LOL, si rivede il lemmino che dimostrai quella domenica pomeriggio... ... e pure la sua "generalizzazione"

[Br1]

4. $ 1.000001^{1000000} $ oppure $ 2 $

Utilizzando questo risultato altrettanto noto e legato
al precedente, valido anche per ogni $ n $ intero maggiore
di 1:

$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2, $

possiamo senz'altro scrivere:

$ \left(1+\frac{1}{1000000}\right)^{1000000}>2 $

e cioè:

$ \left(\frac{1000001}{1000000}\right)^{1000000}=1,000001^{1000000}>2. $

1. $ 99^n+100^n $ oppure $ 101^n $ (per ogni $ n $ naturale)

Qui si può innanzitutto osservare che:

$ 99+100=199 > 101 $

ma:

$ 101^{100} = (100+1)^{100} > 100^{100}+100\cdot 100^{99} > 100^{100}+99^{100} $

per cui possiamo dire questo:
fino a un certo punto, entro i primi cento esponenti,
il numero $ 99^{n}+100^{n} $ è maggiore di $ 101^{n} $; da quel
punto in poi, invece, accade il contrario.
Naturalmente dobbiamo escludere l'uguaglianza fra
le due quantità, dal momento che il punto di cambiamento
si verifica senz'altro in corrispondenza di un $ n>2 $.

In effetti, con pochi opportuni tentativi (e la calcolatrice:
al momento non riesco a raggiungere diversamente il
risultato...), si trova che:

$ 99^{48}+100^{48}>101^{48} $
$ 99^{49}+100^{49}<101^{49}. $