date due n-uple di reali positivi, dimostrare che:
$ \[\displaystyle
\sum {a_i b_i \leqslant \left( {\sum {a_i^p } } \right)^{\frac{1}
{p}} \left( {\sum {b_i^q } } \right)^{\frac{1}
{q}} }
\] $ con $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $
ancora su cauchy
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Simo_the_wolf
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per omogeneità poniamo $ \sum a_i ^p = \sum b_i^q =1 $
Quindi dobbiamo dimostrare $ \sum a_ib_i \leq 1 $
$ f(x)=ln(x) $ è concava per $ x >0 $ quindi $ \frac 1p ln(a_i^p ) + \frac 1q ln(b_i^q ) \leq ln ( \frac 1p a_i^p + \frac 1q a_i^q ) $ e quindi elevando abbiamo:
$ a_ib_i \leq \frac 1p a_i^p + \frac 1q b_i^q $ e sommando abbiamo
$ \sum a_ib_i \leq \frac 1p \sum a_i^p + \frac 1q \sum b_i ^ q = \frac 1p + \frac 1q =1 $
c.v.d.
Quindi dobbiamo dimostrare $ \sum a_ib_i \leq 1 $
$ f(x)=ln(x) $ è concava per $ x >0 $ quindi $ \frac 1p ln(a_i^p ) + \frac 1q ln(b_i^q ) \leq ln ( \frac 1p a_i^p + \frac 1q a_i^q ) $ e quindi elevando abbiamo:
$ a_ib_i \leq \frac 1p a_i^p + \frac 1q b_i^q $ e sommando abbiamo
$ \sum a_ib_i \leq \frac 1p \sum a_i^p + \frac 1q \sum b_i ^ q = \frac 1p + \frac 1q =1 $
c.v.d.