a^2 + b^2 = c^2 + 3

[Poliwhirl]

(Cesenatico 1996) Dimostrare che $ \displaystyle a^2+b^2 = c^2 + 3 $ ammette come soluzioni infinite terne di interi $ \displaystyle a, b, c $.

Bye,
#Poliwhirl#

[edriv]

Lemma: ogni numero dispari è la differenza tra due quadrati.
Si ha che $ \displaystyle d=\left (\frac{d+1}2 \right )^2 - \left (\frac{d-1}2 \right )^2 $.

Esistono infiniti $ a $ tali che $ a^2-3 $ sia dispari. Infatti
$ a=2n \Rightarrow a^2-3 = 4n^2-3 \equiv 1 \pmod 2 $, si trovano come funzione iniettiva dei naturali.

Conseguenza: esistono infiniti $ a $ tali che $ a^2-3 $sia la differenza di due quadrati.
$ a^2-3=c^2-b^2 $
$ a^2+b^2=c^2+3 $.

[elianto84]

Se prendiamo c congruo a 1 o a 7 modulo 8, c^2+3 risulta essere il quadruplo
di un numero congruo a 1 modulo 4, sicuramente esprimibile come somma di
due quadrati (ricordo che un intero si può esprimere come somma di due quadrati
se e solo se i primi congrui a 3 modulo 4 che lo dividono compaiono
nella fattorizzazione con esponente pari).

Vaccata: 21 è congruo a 1 modulo 4 ma non si può esprimere come somma
di due quadrati, essendo prodotto di due primi congrui a 3 modulo 4 !

Da rivedere...

[pi_greco_quadro]

Studiamo la parità e la disparità dell'equazione... Si giunge facilmente a concludere che l'unica possibilità è avere $ a,b $ pari e $ c $ dispari.
Poniamo a questo punto $ a=2l,b=2m,c=2n+1 $
Svolgendo i calcoli otteniamo $ l^2+m^2=n^2+n+1 $. Fissiamo arbitrariamente $ m \in \mathbb Z $ ottenendo a questo punto come soluzione per l'equazione precedente $ l=n,n=m^2-1 $
Ma questo ci porta a concludere che le terne di interi della forma
$ a=2m^2-2,b=2m,c=2m^2-1 $ soddisfano le richieste del problema