Questo lo dedico ai sei ragazzi di Cancun. Occhio che è tosto.
Cortona 1991
Dimostrare che per ogni intero positivo m esiste un suo multiplo che non supera $ m^4 $ la cui rappresentazione decimale utilizza non più di 4 cifre distinte.
Ciao. M.
Multipli con 4 cifre distinte
Multipli con 4 cifre distinte
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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Simo_the_wolf
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Veramente fiQo... 
Forse rispondo un po' in ritardo ma Boll me l'ha fatto notare ieri
. Pensare che prima di Merida non l'avevo neanche visto di sfuggita hehe. vabbè bando alle ciancie...
Dimostriamo prima che la differenza tra due numeri aventi solo 1 e 0 nella loro rappresentrazione decimale è un numero avente solo 1, 0, 8 e 9.
supponiamo di rifare l'addizione
a b c d e.... +
1 0 0 1 1 ....=
1 0 0 0 1 0 .
Per ogni colonna abbiamo (prendiamo per esempio c come cifra del numero incognito): $ c + {0,1} + {0,1} \equiv {0,1} \pmod{10} $ dove il secondo 0,1 a destra è il riporto. risolvendo questa "pluriequazione" modulare troviamo $ c \in {0,1,8,9} $.
La seconda parte della dimostrazione è far vedere che tra $ m $ e $ m^4 $ ci sono più di $ m $ numeri della forma $ 1100101010101... $ con soli 1 e 0.
Diciamo che $ 10^n \leq m \leq 10^{n+1} $. Quindi $ 10^{4n} \leq m <10>3 $ quanto i numeri con meno di $ 5 $ cifre si risolvono facilmente prenendo il numero stesso come multiplo.
Prendiamo ora tutti i numeri della forma sopracitata minori di $ 10^{4n} $ ma maggiori di $ 10^{n+1} $ che in questo modo saranno compresi tra $ m $ e $ m^4 $.
Questi numeri saranno $ 2^{4n+1}-2^{n+2} $ che è maggiore di $ 10^{n+1}\geq m $ per $ n\geq 4 $.
Quindi per il pigeon hole esistono due numeri diversi con solo 1 e 0 tali che sono congui modulo m. Facendo la sottrazione ottengo il mio numero con al più quattro cifre multiplo di m.
Forse rispondo un po' in ritardo ma Boll me l'ha fatto notare ieri
. Pensare che prima di Merida non l'avevo neanche visto di sfuggita hehe. vabbè bando alle ciancie...Dimostriamo prima che la differenza tra due numeri aventi solo 1 e 0 nella loro rappresentrazione decimale è un numero avente solo 1, 0, 8 e 9.
supponiamo di rifare l'addizione
a b c d e.... +
1 0 0 1 1 ....=
1 0 0 0 1 0 .
Per ogni colonna abbiamo (prendiamo per esempio c come cifra del numero incognito): $ c + {0,1} + {0,1} \equiv {0,1} \pmod{10} $ dove il secondo 0,1 a destra è il riporto. risolvendo questa "pluriequazione" modulare troviamo $ c \in {0,1,8,9} $.
La seconda parte della dimostrazione è far vedere che tra $ m $ e $ m^4 $ ci sono più di $ m $ numeri della forma $ 1100101010101... $ con soli 1 e 0.
Diciamo che $ 10^n \leq m \leq 10^{n+1} $. Quindi $ 10^{4n} \leq m <10>3 $ quanto i numeri con meno di $ 5 $ cifre si risolvono facilmente prenendo il numero stesso come multiplo.
Prendiamo ora tutti i numeri della forma sopracitata minori di $ 10^{4n} $ ma maggiori di $ 10^{n+1} $ che in questo modo saranno compresi tra $ m $ e $ m^4 $.
Questi numeri saranno $ 2^{4n+1}-2^{n+2} $ che è maggiore di $ 10^{n+1}\geq m $ per $ n\geq 4 $.
Quindi per il pigeon hole esistono due numeri diversi con solo 1 e 0 tali che sono congui modulo m. Facendo la sottrazione ottengo il mio numero con al più quattro cifre multiplo di m.