congruenza carina

[ubermensch]

Siano $ p $ un primo dispari e $ h,k $ due interi che verificano la congruenza $ p^x\equiv1(x) $. Mostrare che anche il prodotto $ hk $ verifica tale congruenza.

[hydro]

non ho capito bene dove c'entrano h e k con quella congruenza... e x che numero è? vuol dire che quella congruenza è valida per tutti gli x?[/tex]

[edriv]

Credo intenda dire che $ p^h \equiv 1 \pmod h $ e $ p^k \equiv 1 \pmod k $

[ubermensch]

si certo... come dire che $ x^2+6x+8 $ è un'equazione e -4 una soluzione...

[HiTLeuLeR]

Se q è primo in N, poniamo $ \alpha = v_q(h) $ e $ \beta = v_q(k) $. Per via delle ipotesi: $ v_q(p^h - 1) \ge \alpha $ e $ v_q(p^k - 1) \ge \beta $. Dunque $ v_q(p^{hk} - 1) \ge v_q(p^h - 1) + v_q(k) \ge \alpha + \beta $, e perciò $ q^{\alpha + \beta} \mid (p^{hk} - 1) $. Segue la tesi.

[HiTLeuLeR]

Siano $ p $ un primo dispari e $ h,k $ due interi che verificano la congruenza $ p^x\equiv1(x) $. Mostrare che anche il prodotto $ hk $ verifica tale congruenza.

Di fatto, non c'è alcuna ragione per cui dover supporre che p sia primo. Infatti, senza modificare di una sola virgola la dimostrazione già postata, si può dire più in generale che "se a è un intero $ \ne -1 $ ed $ h, k \in \mathbb{N}^+ $ verificano la congruenza $ a^x \equiv 1 \bmod x $, allora anche $ hk $ la verifica."