come può essere vero?

[herbrand]

guardate le figure cliccando qui sotto

http://math.stanford.edu/~vakil/files/puzzle.gif

divertente vero?

[Bolzo88]

Il triangolo rosso e quello verde non sono simili (i rapporti tra i cateti sono 8/3 e 5/2 e 8/3>5/2)... così le due ipotenuse non sono tra loro parallele e la figura intera, che sembra un triangolo, in realtà è un quadrilatero concavo nel primo caso e convesso nel secondo (finalmente ho capito il perchè di questo apparente paradosso... non ci avevo mai pensato).

[Nonno Bassotto]

Credo che questa costruzione sia dovuta a Fibonacci.

[desko]

Esiste anche un effetto meno appariscente, ma matematicamente più bello, anche perché generalizzabile a tutti i numeri di Fibonacci: si prende un quadrato di lato F(n) (n-esimo numero di Fibonacci), lo si scompone in modo opportuno ottenendo un retangolo di lati F(n+1)xF(n-1); il fatto è che le aree dei due quadrilateri differiscono di un'unità ...
Qui c'è l'esempio per n=8 (preso da Base5)
Ma al di là del motivo del perché salta fuori la differenza è interessante chiedersi dove sia andata a finire (o da dove sia saltata fuori) quell'unità in più.

[spelleg]

Attenzione! :shock:

L'inghippo sta nel fatto che le due figure non sono triangoli, ma quadrilateri, in particolare il "triangolo" superiore ha l' "ipotenusa" concava, l'altro "convessa" da cui la differenza di superficie.

Altro (e qui viene il bello) e' dimostrare secondo quali condizioni la differenza coincide con un quadratino perfetto...

coraggio!

[spelleg]

(scusatemi, sono un neofita del forum, dove trovo qualche spiegazione su come inserire formule, immagini, ecc.?)[/url][/tex]

[rdellab]

L'area dei singoli componenti del quadrilatero concavo e' 32. L'area del triangolo in cui e' iscritto e' 32,5 (13x5/2)
Quindi la "fetta" concava ha area 0,5
Quando il quadrilatero diventa convesso, la fetta convessa e' speculare alla prima, e quindi 0,5x2= 1

Spero di essere stato chiaro, un disegno sarebbe assai piu' eloquente

[herbrand]

@bolzo88 sì certo è proprio così,anche se l' angolo è impossibile da notare ad occhio nudo, con un pò di attenzione puoi però notare che l"ipotenusa" del "triangolo" in basso è più alta (guarda i quadratini) di quella della figura sopra, dunque siamo difronte a quadrilateri uno convesso e l' altro concavo.

@spelleg

Altro (e qui viene il bello) e' dimostrare secondo quali condizioni la differenza coincide con un quadratino perfetto...

è proprio questo il bello delle figure.

@rdellab è tutto chiaro ma

Quando il quadrilatero diventa convesso

quando diventa concavo vorrai dire (quello sotto).

@nonno bassotto

Credo che questa costruzione sia dovuta a Fibonacci.

mi piacerebbe sapere chi ha costruito il gioco per primo ma non credo sia Fibonacci.

[spelleg]

La concavita' (o convessita') e' facile da dimostrare:

si osserva che tra i due triangoli non c'e' la proporzione tra i due cateti (3/8 il rosso, 2/5 il verde), condizione che ti garantisce di avere lo stesso angolo e quindi che le due ipotenuse dei triangoli di scomposizione costituiscano effettivamente l'ipotenusa del triangolo (virtuale) maggiore (cateti 5/13)

(peccato non riuscire ad inserire delle immaginette...)