Ecco la mia dimostrazione... anche se non so se e' uguale a quella che ho pensato circa tre secoli fa
Innanzitutto, mi riduco alla situazione $ (x,y)=(y,z)=(x,z)=1 $. Supponiamo infatti di avere una terna che risolve in cui non sia $ (x,y,z)=1 $; chiamo $ d $ il loro MCD. Allora anche la terna $ (x/d, y/d, z/d) $ risolve. Se dimostro quindi che non ci sono soluzioni con $ (x,y,z)=1 $ (che equivale a $ (x,y)=(y,z)=(x,z)=1 $), ho automaticamente dimostrato che non ce ne sono in generale.
Parte 1
Suppongo $ (x,q)=(y,q)=(z,q)=1 $. Allora $ x^p+y^p \equiv z^p $ diventa, moltiplicando per l'inverso $ \bar{y} $ di y: $ (x \bar{y})^p+1 \equiv (z \bar{y})^p $, che contraddice la seconda ipotesi.
Parte 2
Dimostro ora questo lemma: dati $ s $ e $ t $ coprimi tra loro, i due fattori del prodotto $ s^p-t^p= (s-t)(s^{p-1}+s^{p-2}t+...+t^{p-1}) $ hanno $ MCD=1 $ o $ MCD=p $.
Detto $ d $ il loro MCD, so che $ d $ divide una qualunque combinazione lineare dei due. Allora sicuramente divide $ (s^{p-1}+s^{p-2}t+...+t^{p-1}) - (s-t) s^{p-2} $ $ = (2s^{p-2}+s^{p-3}t+...+t^{p-1}) $. Quindi divide anche $ (2s^{p-2}+s^{p-3}t+...+t^{p-1}) - 2(s-t) s^{p-3} $ $ = (3s^{p-3}+s^{p-4}t+...+t^{p-1}) $. Iterando questo processo p-1 volte, si arriva a dire che $ d|p t^{p-1} $.
Supponiamo che $ d $ non sia coprimo con $ t^{p-1} $; allora esiste un fattore primo $ r $ che divide sia $ t $ che d che, di conseguenza per la definizione di d, $ s-t $. Ma questo contraddice l'ipotesi $ (s,t)= 1 $.
Applico ora il lemma al caso particolare;pongo s=x e t=-y per dimostrare infine che $ (d, p)=1 $ basta dire che se $ z^p = x^p-y^p= (x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1}) $ fosse divisibile per p si avrebbe che $ p|z $, che contraddice un'ipotesi. Di conseguenza e $ (x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1})= \alpha^p $.
Scegliendo opportunamente i segni di s e t, si dimostra che $ (z-y)= b^p $, $ (z^{p-1}-z^{p-2}y+...+y^{p-1})= \beta^p $, $ (z-x)= c^p $, $ (z^{p-1}-z^{p-2}x+...+x^{p-1})= \gamma^p $.
Parte 3
Per la parte 1, sappiamo che uno tra x, y, z e' multiplo di q. Anche se potrebbe non sembrare
, l'equazione iniziale e' simmetrica per quanto riguarda questo aspetto in x, y e z, a meno di segni che comunque si possono sistemare facilmente riscrivendo l'equazione come $ x^p+y^p + (- z)^p = 0 $ e ponendo $ z'=-z $ (per far le cose formalmente avrei dovuto fare questo passaggio all'inizio, cmq va beh...). Quindi posso supporre che $ q|y $. Le equazioni ricavate nella parte 2 diventano, viste modulo q:
$ x\equiv a^p $,
$ z \equiv b^p $,
$ z-x \equiv c^p $.
Sostituendo le prime due nella terza, si ottiene $ b^p \equiv c^p+a^p $; moltiplicando per l'inverso $ \bar a $ di a diventa $ b \bar a)^p \equiv (c \bar a)^p+1 $, che contraddice la seconda ipotesi a meno che c sia divisibile per q (perche' ne' a ne' b possono essere divisibili per q). In questo caso abbiamo $ z \equiv x $. Un'altra cosa che ho dimostrato nella parte 2 e' che $ \gamma^p = (z^{p-1}-z^{p-2}x+...+x^{p-1}) $ (alla fine della parte 2); voglio arrivare ad un assurdo analizzandola modulo q. Usando il fatto che $ z \equiv x $,si ha che $ \gamma^p \equiv (z^{p-1}-z^{p-2}z+...+z^{p-1}) $ $ \equiv p * z^{p-1} \equiv p * (b^{p-1})^p $ ( l'ultimo passaggio perche' $ z \equiv b^p $). moltiplicando per l'inverso moltiplicativo di $ b^{(p-1)} $ elevato alla p, si ottiene che p e' un residuo p-esimo modulo q, che contraddice la prima ipotesi.
C.V.D
Antoine-August Le Blanc
