Torneo di p-ello

[Marco]

Alla Sagra Matematica, che si tiene ogni anno sull'altra faccia del nastro di Moebius,
organizzano un campionato di $ p $-ello.

Il $ p $-ello è un gioco che si gioca tra $ p $ giocatori (dove $ p $ è un numero primo).

Il campionato si svolge tra $ p^2 $ giocatori. Gli organizzatori vogliono stilare il calendario del girone, articolato su $ p+1 $ giornate in cui tutti i giocatori giocano contemporaneamente, in modo tale che al termine del torneo ogni concorrente abbia incontrato tutti gli altri esattamente una volta.

Per quali $ p $ è possibile organizzare il torneo?

[Se poi vi volete lanciare, provate a vedere che succede quando p non è primo... però avverto che non ci ho pensato e potrebbe essere difficile.]

M.

[frengo]

WOW!

risposta:per ogni primo.
prendiamo il piano composto dai punti a coordinate intere comprese tra 0 e p-1 (che guarda caso sono proprio p^2) e consideriamo tutte le rette di questo piano con una certa "inclinazione"(lo so, non è proprio corretto parlare di inclinazione).Le rette con una determinata inclinazione sono p, e ciascuna contiene p punti.Le inclinazioni possibili sono p+1, e per ogni coppia di punti passa esattamente una retta.

detto ciò cominciamo a creare un legame con il nostro problema:i punti sono i giocatori, ogni retta è una partita, e ogni inclinazione è una giornata, nel senso che: nella giornata di una certa inclinazione, le partite riuniscono i giocatori il cui punto corrispondente sta sulla stessa retta con quella inclinazione. in questo modo dopo p+1 giorni sono state considerate tutte le rette, quindi per ogni coppia di giocatori esiste una e una sola retta(una partita) a cui appartengono tutti e due(in cui hanno giocato insieme).

per gli stagisti(del preimo di quest'anno):eh eh eh...credevate che non l'avreste mai dovuto usare....

ciao ciao

ps per il caso n composto mi pare arduo...ma ancora ci devo provare

[Marco]

E bravo Frengo, che ha trovato la costruzione geometrica...

Per i composti ci penseremo, ma le potenze di primi?

[Nonno Bassotto]

Se non ricordo male era il metodo che avevamo usato a uno stage di Napoli per fare i tavoli con 25 partecipanti (o forse qualcuno meno, che era stato usato come fantasma).

[Marco]

Bene. Ok. Ora qualcuno di buona volontà potrebbe sfruttare questo risultato con il primo p=3 per risolvere un problema a me molto caro, che giace un po' nell'oblio: quello delle Scacchiere Peruviane. Chi ci prova a colorare la 9 x 12?