studio serie

hexen · Messaggio da **hexen** » 17 mag 2006, 23:28

ciao, come posso studiare il carattere della serie
$ $\sum_n \frac 1 {(\log n)^{\log n}}$ $
...non so come maggiorarla

thematrix · Messaggio da **thematrix** » 18 mag 2006, 08:41

prova con $ $\sum_n \frac{1}{n^2} $;
dovrebbe essere
$ \displaystyle \frac{1}{n^2} > \frac{1}{(log n)^{log n}} $
$ \displaystyle n^2 < (log n)^{log n} $
$ \displaystyle n^\frac{2}{log n} < log n $
$ \displaystyle e^{log n^{\frac{2}{log n}}} = e^{\frac{2}{log n} log n} = e^2 < log n $
che è definitivamente vera.
E,siccome la serie $ $\sum_n \frac{1}{n^2} $ converge,lo farà anche questa.

Poeth · Messaggio da **Poeth** » 18 giu 2006, 00:49

thematrix ha scritto: $ e^2 < log n $
che è definitivamente vera.

Non mi pare, anzi è quasi sempre falsa.

il logaritmo è sempre sotto alla retta orizzontale e^2 finchè non si incontrano,
e solo allora diventa vera.

Messaggio da **EvaristeG** » 18 giu 2006, 02:19

Hmm "definitivamente vera" vuol dire che esiste $ n_0 $ tale che per ogni $ n>n_0 $ si ha che la proposizione è vera, ovvero che $ e^2<\log n $ ... in particolare, qui basta $ n_0=1618 $, infatti $ \log 1619=7.3895\ldots $ e $ e^2=7.3890\ldots $.