Posto x > 0 trovare la derivata.
$ \int^{x+1}_xln(t) dt = |\int ln(t)dt|^{x+1}_x $
la cui derivata è
$ |ln(t)|^{x+1}_x =ln(x+1) - lnx = ln\frac{x+1}{x} $
Problema molto semplice e di risoluzione facile. La soluzione risulta.
Esame 2001 tradizionale ordinaria.
Sapendo che f(0)=2 calcolare
$ lim_{x->0}\frac{\int^x_0f(t)}{2xe^x} $
usiamo quindi del'Hopitail
$ lim_{x->0}\frac{|f(t)dt|^x_0}{2e^x(x+1)} = lim_{x->0}\frac{f(x)-f(0)}{2e^x(x+1)} =0 $
La soluzione invece è 1. Andando a vedere la guida ufficiale, troviamo
$ lim_{x->0}\frac{|f(t)dt|^x_0}{2e^x(x+1)} = lim_{x->0}\frac{f(x)}{2e^x(x+1)} = 1 $
Ora qui sorge il mio dubbio. La derivata di un integrale definito è risolta nei due casi come:
1) $ \int^b_af(t) dt ---> |f(t)|^b_a = f(b)-f(a) $
2) $ \int^b_af(t) dt ---> f(b) $
Devo ammettere che a nel secondo caso $ a = 0 $ mi aveva dato sospetto, ma va ricordato che allo stesso tempo $ f(a) \neq 0 $, quindi mi pare molto strano che debba dipendere da ciò.
Un'altra differenza è che l'integrale 2 è improprio. Ma anche qui non mi spiego un bel nulla.
Oppure semplicemente mi sono perso un passaggio
... help me ^^