Una disuguaglianza da IMO...forse
Una disuguaglianza da IMO...forse
Sia $ A(a,b,c) $ l'area di un triangolo di lati $ a,b,c $. Sia $ f(a,b,c)=\sqrt(A(a,b,c)) $. Dimostrare che per ogni due triangoli di lati $ a,b,c $ e $ a',b',c' $ si ha $ f(a,b,c)+f(a',b',c')\le f(a+a',b+b',c+c') $. Quando si ha l'uguaglianza?
In sostanza occorre dimostrare che,indicando con
(a,b,c) e (x,y,z) i lati dei due triangoli e facendo uso
di Erone,risulta( a meno di un fattore 1/2):
(0) $ $\sqrt[4]{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}+ $$ $+\sqrt[4]{(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}\leq $
$ $\leq \sqrt[4]{(a+x+b+y+c+z)(-a-x+b+y+c+z)} $$ \overline{(a+x-b-y+c+z)(a+x+b+y-c-z)} $
Ora tale diseguaglianza e' conseguenza della nota relazione :
(1) $ $\sqrt[4]{mnpq}+\sqrt[4]{rstu}\leq\sqrt[4]{(m+r)(n+s)(p+t)(q+u)} $
con m,n,p,q,r,s,t,u reali positivi (nel caso nostro questi ultimi
numeri sono,nell'ordine,i fattori che compaiono sotto le radici
quarte del 1°membro della (0) )
L'eguaglianza si ha per m=r,n=s,p=t,q=u e nel caso nostro
(a conti fatti) per a=x,b=y,c=z ovvero quando i triangoli sono congruenti.
Dimostro la (1).
E' facile verificare,per forza bruta e con AM-GM,che e':
(2) $ $\sqrt{mn}+\sqrt{rs}\leq \sqrt{(m+r)(n+s)} $
Pertanto ,detto S il 2° membro della (1) ,si ha:
$ $S=\sqrt{\sqrt{(m+r)(n+s)}\sqrt{(p+t)(q+u)}} $
E per la (2):
$ $S \geq \sqrt{(\sqrt{mn}+\sqrt{rs})(\sqrt{pq}+\sqrt{tu})} $
Ovvero sempre per la (2):
$ S\geq\sqrt{\sqrt{mn}\sqrt{pq}}+\sqrt{\sqrt{rs}\sqrt{tu}}= $$ \sqrt[4]{mnpq}+\sqrt[4]{rstu} $
La relazione (1) e' generalizzabile al caso di un indice n qualunque
delle radici ma ,data la lunghezza della dimostrazione (almeno di
quella che ho io),lascio tale estensione...a qualche altro.
Leandro
(a,b,c) e (x,y,z) i lati dei due triangoli e facendo uso
di Erone,risulta( a meno di un fattore 1/2):
(0) $ $\sqrt[4]{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}+ $$ $+\sqrt[4]{(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}\leq $
$ $\leq \sqrt[4]{(a+x+b+y+c+z)(-a-x+b+y+c+z)} $$ \overline{(a+x-b-y+c+z)(a+x+b+y-c-z)} $
Ora tale diseguaglianza e' conseguenza della nota relazione :
(1) $ $\sqrt[4]{mnpq}+\sqrt[4]{rstu}\leq\sqrt[4]{(m+r)(n+s)(p+t)(q+u)} $
con m,n,p,q,r,s,t,u reali positivi (nel caso nostro questi ultimi
numeri sono,nell'ordine,i fattori che compaiono sotto le radici
quarte del 1°membro della (0) )
L'eguaglianza si ha per m=r,n=s,p=t,q=u e nel caso nostro
(a conti fatti) per a=x,b=y,c=z ovvero quando i triangoli sono congruenti.
Dimostro la (1).
E' facile verificare,per forza bruta e con AM-GM,che e':
(2) $ $\sqrt{mn}+\sqrt{rs}\leq \sqrt{(m+r)(n+s)} $
Pertanto ,detto S il 2° membro della (1) ,si ha:
$ $S=\sqrt{\sqrt{(m+r)(n+s)}\sqrt{(p+t)(q+u)}} $
E per la (2):
$ $S \geq \sqrt{(\sqrt{mn}+\sqrt{rs})(\sqrt{pq}+\sqrt{tu})} $
Ovvero sempre per la (2):
$ S\geq\sqrt{\sqrt{mn}\sqrt{pq}}+\sqrt{\sqrt{rs}\sqrt{tu}}= $$ \sqrt[4]{mnpq}+\sqrt[4]{rstu} $
La relazione (1) e' generalizzabile al caso di un indice n qualunque
delle radici ma ,data la lunghezza della dimostrazione (almeno di
quella che ho io),lascio tale estensione...a qualche altro.
Leandro