A me pare che si possa fare....
Sia $ \{x_n\} $ una successione di punti in uno spazio metrico $ X $.
Sia $ g:X\times\bar{R^+}\rightarrow R^+ $ una funzione continua sulla
seconda variabile $ t $ (dove $ \bar{R^+} $ denota la compattificazione dei
reali nonnegativi). Sia $ \{t_k\} $ una successione crescente di
$ \bar{R^+} $. Sia fissato comunque $ k $, supponiamo che per ogni
$ \varepsilon>0 $ esiste $ N(k,\varepsilon $) tale che
$ g(x_n,t_k)\leq\varepsilon $ per ogni $ n>N(k,\varepsilon) $. Suppongo
inoltre che fissato $ \varepsilon $, la
successione $ N_k=N(k,\varepsilon) $ sia divergente.
Domanda: sfruttando la continuità della $ g $ sulla seconda variabile,
detto $ t_{\infty}=lim_{k\rightarrow\infty t_k $, è possibile
affermare che $ g(x_n,t_{\infty})\geq\varepsilon $ per infiniti indici
$ n $?
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ubermensch
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Ultima modifica di ubermensch il 23 giu 2006, 12:11, modificato 1 volta in totale.
Così com'è mi pare che non funzioni. (Neanche su $ \mathbb R $).
Il problema è che l'ipotesi che $ N_k $ sia divergente non dice assolutamente niente. Infatti supponi che $ N_k $ non sia divergente: è certemente possibile costruire una successione $ N'_k\geq N_k $ divergente, per la quale è ancora vera la proprietà che $ n\geq N'_k\Rightarrow g(x_n,t_k)\leq\varepsilon $. Quindi esiste sempre una successione divergente con quella proprietà.
In pratica se prendi $ X=\mathbb R $, $ x_n=1/n $, $ g(x,t)=x $ allora la tesi è falsa, e in effetti la successione $ N_k $ naturale sarebbe $ N(k,\varepsilon)=1/\varepsilon $ che non diverge. Tuttavia è possibile scegliere $ N(k,\varepsilon)=k/\varepsilon $ e in questo modo si hanno ipotesi vere e tesi falsa.
Spero di essere stato chiaro e di non avere commesso leggerezze.
Il problema è che l'ipotesi che $ N_k $ sia divergente non dice assolutamente niente. Infatti supponi che $ N_k $ non sia divergente: è certemente possibile costruire una successione $ N'_k\geq N_k $ divergente, per la quale è ancora vera la proprietà che $ n\geq N'_k\Rightarrow g(x_n,t_k)\leq\varepsilon $. Quindi esiste sempre una successione divergente con quella proprietà.
In pratica se prendi $ X=\mathbb R $, $ x_n=1/n $, $ g(x,t)=x $ allora la tesi è falsa, e in effetti la successione $ N_k $ naturale sarebbe $ N(k,\varepsilon)=1/\varepsilon $ che non diverge. Tuttavia è possibile scegliere $ N(k,\varepsilon)=k/\varepsilon $ e in questo modo si hanno ipotesi vere e tesi falsa.
Spero di essere stato chiaro e di non avere commesso leggerezze.
No, non si aggiusta neanche così (per chi mi hai preso? 
), anche se il controesempio è lungo da scrivere e non ne ho voglia. (Sostanzialmente fai saltare ogni tanto qualche valore sopra $ \varepsilon $ in modo che il minimo $ N_k $ diverga).
Comunque ammetto che non ho controllato bene i dettagli, quindi potrei anche essere smentito.
), anche se il controesempio è lungo da scrivere e non ne ho voglia. (Sostanzialmente fai saltare ogni tanto qualche valore sopra $ \varepsilon $ in modo che il minimo $ N_k $ diverga).Comunque ammetto che non ho controllato bene i dettagli, quindi potrei anche essere smentito.
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ubermensch
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1) avete ragione ho sbagliato a scrivere: g è a valori reali
2) non l'ho esplicitato (avete ancora ragione!), ma intendevo $ N(k,\varepsilon) $ minimo
3) @teppic:
non ho capito neanche intuitivamente la tua idea "fai saltare ogni tanto qualche valore sopra $ \varepsilon $...."
magari senza mettere la dim, mi potresti dare qualche dettaglio in più?
4) Per il resto, mi pare talmente intuitivo che funzioni che finchè "non vedo non credo".
2) non l'ho esplicitato (avete ancora ragione!), ma intendevo $ N(k,\varepsilon) $ minimo
3) @teppic:
non ho capito neanche intuitivamente la tua idea "fai saltare ogni tanto qualche valore sopra $ \varepsilon $...."
magari senza mettere la dim, mi potresti dare qualche dettaglio in più?
4) Per il resto, mi pare talmente intuitivo che funzioni che finchè "non vedo non credo".
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ubermensch
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Scusate ma i seguenti passaggi sono sbagliati?
la tesi equivale a $ min\{N:g(x_n,t_{\infty})\leq\varepsilon , \forall n\geq N\}=\infty $
Abbiamo
$ min\{N:g(x_n,t_{\infty})\leq\varepsilon , \forall n\geq N\} $=$ min\{N:lim_{k\rightarrow\infty}g(x_n,t_k)\leq\varepsilon , \forall n\geq N\} $=$ min\{sup_{k\in N}\{N_k\}\}=\infty $
la tesi equivale a $ min\{N:g(x_n,t_{\infty})\leq\varepsilon , \forall n\geq N\}=\infty $
Abbiamo
$ min\{N:g(x_n,t_{\infty})\leq\varepsilon , \forall n\geq N\} $=$ min\{N:lim_{k\rightarrow\infty}g(x_n,t_k)\leq\varepsilon , \forall n\geq N\} $=$ min\{sup_{k\in N}\{N_k\}\}=\infty $
Credo che il problema sia nella penultima uguaglianza: sei capace di dimostrarla?
Provo a costruire il controesempio al tuo enunciato originale...
Fissiamo $ X=\mathbb R $, $ t_k=k $, $ x_n=1/n $.
Poi definiamo $ g $ sulle coppie del tipo $ (1/n,k) $ così:
$ g(1/n,k)=\left\{\begin{array}{ll} 1/n & n\neq k \\ 1 & n=k \end{array}\right. $
ed estendiamo tale definizione su tutto lo spazio di definizione con continuità nella seconda variabile (non è impossibile, perché per n fissato, la funzione è costante da un certo punto in poi).
Ora, affinché $ g(1/n,k)\leq\varepsilon $ deve essere $ n>k $ e $ n\geq\varepsilon $, quindi:
$ \displaystyle N(k,\varepsilon)=\max\left(k,\frac1\varepsilon\right) $
che chiaramente diverge in k per ogni epsilon.
Tuttavia la tesi è falsa, perché $ g(1/n,\infty)=1/n $.
Aggiungo che affinché l'enunciato sia vero, serve qualcosa di più. Ad esempio basterebbe poter dire che $ g(x,t) $ è non-decrescente in t.
Provo a costruire il controesempio al tuo enunciato originale...
Fissiamo $ X=\mathbb R $, $ t_k=k $, $ x_n=1/n $.
Poi definiamo $ g $ sulle coppie del tipo $ (1/n,k) $ così:
$ g(1/n,k)=\left\{\begin{array}{ll} 1/n & n\neq k \\ 1 & n=k \end{array}\right. $
ed estendiamo tale definizione su tutto lo spazio di definizione con continuità nella seconda variabile (non è impossibile, perché per n fissato, la funzione è costante da un certo punto in poi).
Ora, affinché $ g(1/n,k)\leq\varepsilon $ deve essere $ n>k $ e $ n\geq\varepsilon $, quindi:
$ \displaystyle N(k,\varepsilon)=\max\left(k,\frac1\varepsilon\right) $
che chiaramente diverge in k per ogni epsilon.
Tuttavia la tesi è falsa, perché $ g(1/n,\infty)=1/n $.
Aggiungo che affinché l'enunciato sia vero, serve qualcosa di più. Ad esempio basterebbe poter dire che $ g(x,t) $ è non-decrescente in t.
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