Due sferette metalliche di massa $ m_a $e $ m_b $ portano cariche positive uguali $ q $.Le 2 sferette si trovano a una distanza $ d $. Se si lasciano andare qual è la velocità che ciascuna sfera assume dopo molto tempo.
Dunque...io l'avrei risolto col teorema dell'energia cinetica:
$ \displaystyle \Delta K = \int\limits_0^{ + \infty } {Fdx = } \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{q^2 }}{{\left( {d + 2x} \right)^2 }}dx = } \frac{{q^2 }}{{8\pi \varepsilon _0 d}} $
da cui:
$ \displaystyle v_a = \frac{q}{2}\sqrt {\frac{1}{{\pi \varepsilon _0 dm_a}}} $
Nel libro invece c'è un altra soluzione.Applica la conservazione dell'enrgia al sistema formato dalle 2 cariche:
$ \displaystyle \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{q^2 }}{d} = \frac{1}{2}m_A v_A^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2 $
e poi la conservazione della quantità di moto:
$ \displaystyle 0 = m_A v_A + m_B v_B $
Facendo i calcoli vengono 2 risultati diversi.Cosa non và nella mia soluzione?
Dubbio
L'integrale del lavoro presuppone una definizione precisa del sistema di riferimento spaziale nel quale calcolare tale integrale. Nel tuo caso tu poni lo zero di questo sistema sul punto che occupa la carica $ a $ all'inzio. Ma allora quando questa carica si sposta all'ascissa x, la corrispondente carica $ b $ si trova ad ascissa $ -d-x $ solo se le due masse sono uguali. Solo in questo caso dunque la distanza tra le due masse è $ d+2x $. Infatti in questo caso particolare il tuo calcolo e il calcolo del libro danno, giustamente, lo stesso risultato. Se invece la massa della carica b è diversa dalla massa della carica a, quando la carica a si trova all'ascissa $ x $ la carica b si trova a un'ascissa $ -d-x_b $, dove $ x_b $ è minore di x se la massa b è maggiore della massa a, mentre è maggiore di x se la massa b è minore, questo per conservare la quantità di moto. Allora nell'integrale in generale non è lecito scrivere $ d+2x $ a denominatore (salvo il caso di due masse uguali).
Ho capito...in sostanza gli spostamenti sono inversamenti proporzionali alle masse per la conservazione della quantità di moto.
Già che siamo in tema... Due sfere metalliche di raggio R sono poste a una distanza (calcolata rispetto ai loro centri) d. Una ha una carica $ q_1 $ l'altra una carica $ q_2 $.Trascuare l'effetto dell'induzione elettrica(in altre parole le cariche sono distribuite uniformente).Si vuole trovare il potenziale di ciascuna sfera avendo posto $ V=0 $ a distanza infinita.
Secondo me il potenziale della prima sfera è:
$ \displaystyle V = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\left( {\frac{{q_1 }}{R} + \frac{{q_2 }}{d}} \right) $
nel libro mette invece:
$ \displaystyle V = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\left( {\frac{{q_1 }}{R} + \frac{{q_2 }}{{d - R}}} \right) $
come se la carica $ q_2 $ fosse a una distanza media pari a $ d-R $.Ma la distanza media non è d?!?!
Ciao
Già che siamo in tema... Due sfere metalliche di raggio R sono poste a una distanza (calcolata rispetto ai loro centri) d. Una ha una carica $ q_1 $ l'altra una carica $ q_2 $.Trascuare l'effetto dell'induzione elettrica(in altre parole le cariche sono distribuite uniformente).Si vuole trovare il potenziale di ciascuna sfera avendo posto $ V=0 $ a distanza infinita.
Secondo me il potenziale della prima sfera è:
$ \displaystyle V = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\left( {\frac{{q_1 }}{R} + \frac{{q_2 }}{d}} \right) $
nel libro mette invece:
$ \displaystyle V = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\left( {\frac{{q_1 }}{R} + \frac{{q_2 }}{{d - R}}} \right) $
come se la carica $ q_2 $ fosse a una distanza media pari a $ d-R $.Ma la distanza media non è d?!?!
Ciao
Premesso che questo esercizio non mi piace perché chiede di trascurare un fenomeno senza il quale le due sfere non potrebbero essere equipotenziali (se le cariche fossero distribuite uniformemente il potenziale delle regioni delle due sfere che si guardano dovrebbe essere più alto di quello delle regioni opposte!), cercherò comunque di entrare nella logica distorta della semplificazione richiesta.
Il potenziale sulla prima sfera si ottiene sommando il potenziale prodotto dalla sfera stessa piu il potenziale prodotto dalla seconda sfera su di lei.
Se le cariche sono distribuite uniformemente sulla superficie, il primo potenziale è quello che ha al denominarore R, e qui il libro concorda. Vediamo il secondo.
Il ragionamento mi viene meglio se ricordo che il potenziale corrisponde al lavoro prodotto dal campo elettrico su una carica unitaria per portarla all'infinito. Allora presa una carica unitaria immaginiamo che inizialmente giaccia sulla seconda sfera e che questa la voglia spingere all'infinito passando per la prima sfera. Il lavoro per portare la carica sulla prima sfera è quello che serve ad arrivare al punto più vicino che ha potenziale con denominatore d-R, perchè una volta arrivata lì la carica esploratrice si trova su una superficie equipotenziale (ecco il paradosso). Dunque in questa logica il contributo della seconda sfera sulla prima ha al denominatore proprio d-R.
Tutto ciò, comunque, è abbastanza ripugnante secondo i miei gusti.
Il potenziale sulla prima sfera si ottiene sommando il potenziale prodotto dalla sfera stessa piu il potenziale prodotto dalla seconda sfera su di lei.
Se le cariche sono distribuite uniformemente sulla superficie, il primo potenziale è quello che ha al denominarore R, e qui il libro concorda. Vediamo il secondo.
Il ragionamento mi viene meglio se ricordo che il potenziale corrisponde al lavoro prodotto dal campo elettrico su una carica unitaria per portarla all'infinito. Allora presa una carica unitaria immaginiamo che inizialmente giaccia sulla seconda sfera e che questa la voglia spingere all'infinito passando per la prima sfera. Il lavoro per portare la carica sulla prima sfera è quello che serve ad arrivare al punto più vicino che ha potenziale con denominatore d-R, perchè una volta arrivata lì la carica esploratrice si trova su una superficie equipotenziale (ecco il paradosso). Dunque in questa logica il contributo della seconda sfera sulla prima ha al denominatore proprio d-R.
Tutto ciò, comunque, è abbastanza ripugnante secondo i miei gusti.