Disuguaglianza slovena

[Leblanc]

Dimostrare che per ogni terna di reali positivi diversi da 1 e con $ xyz=1 $ si ha che:
$ \left(\frac{3-x}{1-x} \right)^2 + \left(\frac{3-y}{1-y} \right)^2 $$ +\left(\frac{3-z}{1-z} \right)^2 > 7 $

ps: assolutamente non adatto agli esperti...

[edriv]

Senza perdita di generalità possiamo assumere che $ 0<x<1> 1-x \Rightarrow \frac 1 {1-x} > 1 \Rightarrow \frac 1 {(1-x)^2} > 1 $.
Concludiamo che $ \frac 1 {1-x} + \frac 1 {(1-x)^2} > 2 $.

Inoltre: $ 1 + \frac 4 {1-x} + \frac 4 {(1-x)^2} > 9 $, ma questo è uguale a $ (1+\frac 2 {1-x})^2 = (\frac {3-x}{1-x})^2 $.

Sommando questo ad altri due quadrati (non negativi), otteniamo che
$ \left(\frac{3-x}{1-x} \right)^2 + \left(\frac{3-y}{1-y} \right)^2 $$ +\left(\frac{3-z}{1-z} \right)^2 > 9 $

edit :
visto che gli esperti (Boll) si lamentano che è troppo larga, rilancio:
Determinare la massima costante k tale che:
$ \left(\frac{3-x}{1-x} \right)^2 + \left(\frac{3-y}{1-y} \right)^2 $$ +\left(\frac{3-z}{1-z} \right)^2 > k $
per ogni $ x,y,z > 0 $ e diversi da 1 tali che $ xyz=1 $.

[Franchifis]

osservo che $ \frac{3-x}{1-x}=1-\frac{2}{x-1} $ e pongo $ a=x-1 $, $ b=y-1 $, $ c=z-1 $. Per le condizioni del problema si ha $ abc\neq 0 $.

L'uguaglianza diventa, dopo aver svolto i calcoli,
$ {(1-\frac{2}{a})}^2+{(1-\frac{2}{b})}^2+{(1-\frac{2}{c})}^2>7 $ $ \Rightarrow $ $ \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2} -\frac{1}{a} -\frac{1}{b} -\frac{1}{c}>1 $
mentre la condizione sulle variabili diventa, facendo i conti e dividendo per $ abc $,
$ (1+a)(1+b)(1+c)=1 $ $ \Rightarrow $ $ 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=0 $.

Sostituendo agli inversi delle variabili l'espressione calcolata dalla condizione su di esse, si ottiene
$ \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2} +\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} +\frac{1}{ca}>0 $
e sommando la stessa quantità ad ambo i membri della disequazione:
$ {(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}^2>\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} $
ed operando una nuova sostituzione al secondo membro:
$ {(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}^2>-1-(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) $

Ora ponendo $ n=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $ la disequazione diventa:
$ n^2>-1-n $ ovvero $ n^2+n+1>0 $ che è sempre vera in quanto il vertice di tale parabola è $ (-\frac{1}{2},\frac{3}{4}) $ e la concavità è rivolta verso l'alto.

Per il caso generale, ponendo $ k=7+q $, ragionano allo stesso modo di prima si dovrebbe ottenere $ q<3 $ e quindi $ k<10 $.

Speriamo di non avere scritto stupidaggini... speranza vana. Grazie pic88, correggerò l'errore.

[pic88]

Ora ponendo $ n=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $ la disequazione diventa:
$ n^2>-1-n $ ovvero $ n^2+n+1>0 $ che è sempre vera in quanto il vertice di tale parabola è $ (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $ e la concavità è rivolta verso l'alto.

$ (-\frac{1}{2},\frac{3}{4}) $...ovviamente la cosa non influisce sul segno di $ n^2+n+1 $ , la riporto solo per pignoleria...

[Simo_the_wolf]

il massimo è $ k=10 $ con uguaglianza quando ad esempio $ x=y=\sqrt{7}+2 $.

Infatti seguendo il procedimento di Franchifis si arriva a:

$ (\frac 1a + \frac 1b + \frac 1c + \frac 12) ^2 \geq \frac {k-10}{4} $