Mostrare che, dato uno spazio vettoriale (forse si deve dinstinguere se realo o compelsso) V con un prodotto scalare (o hermitiano) definito positivo <,> e sia A un operatore simetrico (hermitiano) di V vale l'equivalenza:
Tutti gli autovalori di A sono positivi $ \Longleftrightarrow \langle Av,v \rangle > 0 \quad \forall v \in V $...
Non riesco a mostrare il $ \Leftarrow $. Sia v_i una base spettrale e $ \lambda_i $ i corrispondenti autovalori, allora $ $\langle Av,v \rangle = \sum_i x_i^2 \lambda_i \langle v_i,v_i \rangle>0$ $ (nel caso reale)... Ma da qui come faccio a far vedere che i lambda sono positivi? (dalla scrittura con la somma è chiaro quanto èfacile mostrare il viceversa
)
