Il quadrilatero 2 - The revenge

[Piera]

Sia ABCD un quadrilatero inscritto in un cerchio di centro O avente le diagonali AC e BD perpendicolari. I raggi OA e OC dividono il quadrilatero in due quadrilateri ABCO e AOCD, uno convesso e l'altro concavo. Sapendo che l'area del quadrilatero concavo è $ \frac{1}{\sqrt3} $, si determini l'area di ABCD.

[edriv]

Dimostriamo che gli angoli ^BOC e ^AOD sono supplementari.
$ B \widehat AC = \frac 12 B\widehat OC $, angoli al centro e alla circonferenza.
$ D \widehat BA = 90° - B \widehat AC $, diagonali perpendicolari
$ A \widehat OD = 2 \cdot D \widehat BA = 180° - B\widehat OC $

I triangoli AOD e BOC sono isosceli, con i lati diversi della base uguali e con gli angoli opposti alla base supplementari. Se calcoliamo l'area come (1/2 lato * lato * seno dell'angolo compreso), sapendo che $ \sin \alpha = \sin {\pi - \alpha} $, troviamo che hanno la stessa area.
Lo stesso vale per AOB e COD. Concludiamo che l'area di tutto il quadrilatero è il doppio di quella di BODA, quindi $ \frac 2 {\sqrt 3} $.