Non tanto facile...

[Flavio5x]

Guardando un vecchio giradischi mi è venuto in mente l'esercizio che vi propongo di seguito, per risolvere il quale ho poi consumato qualche neurone in più del solito e pertanto lo giudico impegnativo.
Una piattaforma circolare orizzontale di raggio R ruota attorno al suo centro con una velocità angolare costante ω (come il piatto di un giradischi).
Sulla superficie della piattaforma ad una distanza dal centro pari alla metà del suo raggio è posta una sfera, inizialmente vincolata a ruotare solidarmente con la piattaforma. La sfera è costituita da un materiale omogeneo a densità uniforme.
Ad un certo istante la sfera viene lasciata libera di muoversi e comincia a rotolare sulla superficie della piattaforma, finché raggiunge il bordo. Si supponga che la sfera si muova sempre di puro rotolamento, senza mai strisciare sulla superficie. Si vuole calcolare la velocità (in modulo) posseduta dalla sfera nel momento in cui essa raggiunge il bordo della piattaforma, e precisamente:
1. la v’ misurata da un osservatore solidale con la piattaforma rotante
2. la v misurata da un osservatore solidale con il terreno e quindi immobile.
Entrambe le velocità siano espresse in funzione di R e di ω.
Buona soluzione!

[Gauss_87]

vediamo se ho ben inteso:

possiamo assumere che istante per istante, considerando la legge di composizione delle accelerazioni, la sferetta è soggetta alla forza "centrifuga" e a quella di coriolis?

[evans]

Allora... non so se la soluzione è corretta ma la posto e poi vediamo


Ho composto la velocità causata dall'accelerazione centripeta e quindi $ v=\sqrt{2ax} $ che non è costante quiondi$ v=\int^{R}_{R/2} \sqrt{2a d x} $ dove $ a=\omega^2 x $
con la velocità della pallina
che ho ricavato dai principi di conservazione dell'energia cinetica di rotolamento $ v=\omega r $ con r raggio della pallina

Poichè i due vettori sono perpendicolari la composizione potrà essere fatta con Pitag
ora e quindi per l'osservatore solidale con il sistema:
$ v'=\sqrt{H^2+\omega^2r^2} $

dove con H intendo il risultato dell'integrale che mi scoccio di risolvere (scusate)

non sono molto convinto della soluzione specialmente per il fatto che ho dovuto introdurre il raggio della sferetta altrimenti non ne vengo a capo.
ma non è necessario tale raggio?

per l'osservatore esterno credo si debba considerare la forza centrifuga ma non ho ben capito

[memedesimo]

se arriva al bordo senza strisciare la velocità tangenziale dovrebbe essere cambiata, perchè quando la sfera si allontana dal suo punto iniziale il terreno sotto di lei ha una velocità maggiore della sfera, ed esercita quindi una forza perpendiacolare ai raggi del disco.

se sul bordo la sfera non deve strisciare, il punto di contatto fra la sfera e il disco devono avere la stessa velocità (in direzione tangenziale) quindi Vcdm+Wr=wR
(W=vel ang sfera, r= raggio sfera)

però mi sembra strano che il risultato non dipenda dal momento di inerzia!

ciao

[BMcKmas]

ci provo

$ v'= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{7}}\omega R $

$ v= \sqrt{\frac{43}{28}} \omega R $

è giusto?

[evans]

Come lo hai risolto?

[BMcKmas]

Aspettiamo la conferma di Flavio5x, poi ne parliamo, d'accordo?
In effetti non sono molto sicuro del risultato (soprattutto il secondo)

ciao

[Flavio5x]

Caro BMcKmas, in linea di massima vedo che i tuoi neuroni girano come i miei, e di ciò mi rallegro.
La prima soluzione infatti è identica alla mia.
Il secondo risultato invece non coincide.
A me viene $ v=\sqrt{\frac{13}{28}}\omega R $
Rispondendo agli altri, riguardo al fatto che il risultato non dipenda dal raggio $ r_s $della sfera, ciò è vero in quanto dipende dal rapporto $ \frac{I}{mr_s^2} $, che per una sfera omogenea vale sempre $ \frac{2}{5} $, indipendentemente dalle sue dimensioni.
Riguardo poi al metodo di soluzione esso non richiede affatto di risolvere integrali complicati, come BMcKmas può ben confermare.
Vorrei infine osservare che, se i miei calcoli sono giusti, i vettori v e v' risultano ortogonali, e allora si può facilmente calcolare la componente radiale della velocità che risulta $ v_r=\frac{\sqrt{195}}{28}\omega R $, cioè "quasi" $ \frac{\omega R}{2} $

[Bacco]

Ho un dubbio sul primo punto. Che vuol dire "osservatore solidale con la piattaforma"? Vuol dire forse che è in grado di misurare solo la velocità in senso radiale?

Il risultato a cui entrambi siete pervenuti si ottiene (almeno io l'ho trovato così) con la conservazione dell'energia in direzione radiale.

[Flavio5x]

Riguardo al dubbio rispondo negativamente. Solidale con la piattaforma significa che "ci monta sopra" e quindi per lui la piattaforma è ferma. Su questa piattaforma lui vede la pallina muoversi a causa di due forze (Coriolis e centrifuga), e quindi compiere una linea curva, con una velocità che ha sia la componente radiale che la componente trasversale.
Riguardo al metodo di soluzione io non parlerei di energia, perché in questo caso la forza non è affatto l'accelerazione (relativa al sistema rotante) moltiplicata per la massa. E poi se parlassimo di energia dovremmo considerare anche quella rotazionale della pallina oltre che quella traslazionale.
Molto più semplicemente, io ho utilizzato una relazione valida in qualunque sistema di riferimento, e cioè:
$ \displaystyle \int\limits_{l_0}^{ l} {\mathbf{a} \cdot \mathbf{dl} = }\frac{v^2-v_0^2}{2} $
Il bello di questa relazione è prima di tutto che non tratta di masse, momenti di inerzia e forze, ma solo di attributi puramente cinematici dei corpi.
Considerando poi l'espressione della accelerazione, nel nostro caso si nota che la componente di Coriolis è ortogonale al moto, per cui il prodotto scalare integrando riceve contributi solo dalla componente centrifuga (o centripeta, a seconda dei casi). Questo è il motivo per il quale solo la coordinata r, alla fine, è quella che conta, e dà luogo ad un integrale estremamente semplice.
Completo spegando anche l'ultima osservazione del mio post precedente.
E' noto come la relazione tra le velocità sia: $ \mathbf{v}=\mathbf{v'}+\mathbf{v_t} $, dove quest'ultima è detta velocità di trascinamento del sistema in moto relativo e vale $ \mathbf{\omega}\times \mathbf{r} $.
Pertanto i tre vettori costituiscono i lati di un triangolo, che risulta in questo caso anche rettangolo, poiché visti i valori che si sono ottenuti vale la relazione $ v^2+v'^2=v_t^2 $. Poiché la $ v_t $ è tangenziale alla piattaforma, la componente radiale della velocità coincide con l'altezza di detto triangolo rispetto all'ipotenusa, che si ottiene moltiplicando i cateti e dividendo per l'ipotenusa stessa.
Ciao

[BMcKmas]

Per Flavio5x

scusa Flavio ma c'è qualcosa che mi sfugge nel tuo ragionamento.
Per la prima domanda, anch'io ho usato il sistema non inerziale della piattaforma e considerato le forze d'inerzia (centrifuga e Coriolis). La prima, come fai notare, fa lavoro, mentre la seconda no. Tuttavia, il risultato l'ho ottenuto con il teorema delle forze vive, altrimenti come potevo tener conto della rotazione (di rotolamento) della sfera? Ovvero: se la sfera avesse un altro momento d'inerzia a parità di massa (per esempio la massa non fosse uniforme nel raggio) il risultato sarebbe diverso, o no?

Per la seconda parte, infine, non mi è chiara la condizione di ortogonalità tra le componenti della velocità che tu richiami. Si tratta di una assunzione oppure è una conseguenza dimostrata dal fatto che hai ottenuto la velocità 'assoluta' in qualche altro modo?

ciao

[BMcKmas]

Il risultato a cui entrambi siete pervenuti si ottiene (almeno io l'ho trovato così) con la conservazione dell'energia in direzione radiale.

l'energia è uno scalare, cosa intendi per energia in direzione radiale?

ciao

[Flavio5x]

Scrivo la traccia completa del mio ragionamento.

Passo 1: determinare la relazione tra la accelerazione assoluta a (sistema di riferimento "fermo") e accelerazione relativa a' (sistema di riferimento rotante).
L'unica forza che agisce sulla palla è il contatto con il piano. Ovviamente questa F è uguale a ma. Questa F determina un momento rispetto al centro di massa della palla che ne provoca l'accelerazione angolare. Inoltre la condizione di puro rotolamento rispetto alla piattaforma mette in relazione la velocità angolare della palla con la v' e quindi la accelarazione angolare della stessa con la a'. Mettendo assieme queste considerazioni si ha la relazione cercata: $ \mathbf{a'}=-\frac{mr_s^2}{I}\mathbf{a} $, dove $ r_s $ è il raggio della palla.

Passo 2: applicare il risultato del passo 1 alla relazione generale del moto relativo.
L'equazione del moto relativo è:
$ \mathbf{a}=\mathbf{a'}+2\mathbf{\omega}\times\mathbf{v'}+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r'}) $
A questo punto si sceglie in quale sistema di riferimento operare. Se si opera in quello in rotazione, al posto di a si mette $ -\frac{I}{mr_s^2}\mathbf{a'} $, se invece si opera nel sistema assoluto (fermo), al posto di a' si mette$ -\frac{mr_s^2}{I}\mathbf{a} $, al posto di v' si mette $ \mathbf{v}-\mathbf{\omega}\times\mathbf{r} $ e al posto di r' si mette r.

Passo 3: eseguire l'integrale di linea della accelerazione in funzione delle coordinate spaziali.
Si esegue l'integrale di linea della accelerazione (vedi mio post precedente) e si trova la velocità, ricordando che nel caso del sistema in rotazione la velocità iniziale è nulla mentre nel caso del sistema assoluto la velocità iniziale è $ \frac{\omega R}{2} $.

Condizione di ortogonalità delle velocità.
Siccome i tre vettori delle velocità (v, v' e $ v_t=\omega R $ di trascinamento) formano un triangolo, e dai calcoli di cui sopra risulta :
$ v'=\sqrt{\frac{15}{28}}\omega R $
$ v=\sqrt{\frac{13}{28}}\omega R $
è evidente che la somma dei quadrati di queste v e v' dà proprio la velocità di trascinamento al quadrato. Dunqe i due vettori velocità sono tra loro ortogonali, con quel che poi segue, già detto nel mio precedente post.
Ciao.

[BMcKmas]

Ho più o meno seguito il tuo ragionamento, tuttavia ho ancora un dubbio:
cosa impedisce alla sfera di avere durante il moto (e quindi anche quando si stacca dal disco) una componente di moto rotatorio attorno all'asse verticale?

ciao

[Flavio5x]

In realtà ce l'ha questa rotazione attorno all'asse verticale: se ricordi la sfera è inizialmente vincolata al disco, per cui ruota con esso alla velocità angolare $ \omega $. Quando la sfera comincia a muoversi, oltre a questa componente verticale, che rimane inalterata semplicemente perché non c'è nessun momento che la possa variare, sorge anche la componente orizzontale dovuta al rotolamento. Ma sulle componenti dei vettori, come noto, è possibile fare ragionamenti separati, per cui di questa componente verticale di rotazione della palla ci si può tranquillamente scordare, nel senso che rimane costante e non influisce sul moto traslatorio.
Ciao.