abbiamo un tavolo da biliardo rettangolare.
lanciamo una palla che segue le leggi della riflessione. le sue componenti lungo la base e l'altezza del tavolo avranno allora velocità costante in modulo. mi chiedo quale sia la probabilità che la palla si muova di moto periodico.
ovviamente le componenti si muovono entrambe di moto periodico: pertanto la "probabilità" è legata al rapporto tra i due periodi: se questo è razionale, allora la palla avrà moto periodico, altrimenti no.
i numeri irrazionali sono più dei razionali, devo aspettarmi che sia più probabile un moto non periodico?
spero di essermi spiegato,
grazie a chi risponderà.
Il solito tavolo da biliardo
Il problema sta tutto nel fatto che tu scegli "a caso" i due periodi ... questo "a caso" non è sempre uguale ... la questione fondamentale è cosa vuol dire scegliere "a caso" un numero reale : se ad esempio si concorda di scegliere un numero in [0,1], si potrà dire che la probabilità che il numero stia nell'intervallino (a,b) è uguale a (b-a); più in generale, fissato un intervallo di lunghezza L in cui scegliere il numero, la probabilità che questo stia in un sottointervallo di lunghezza M sarà M/L... però, si potrebbe ad esempio decidere di misurare l'altezza della prima persona che si incontra e riscalare il risultato all'intervallo che ci serve utilizzando una qualche statistica che dica l'altezza minima e massima degli esseri umani; in questo caso, sarebbe molto più probabile trovare un'altezza tra 1.60 e 1.90 che non un'altezza tra 2.10 e 2.40, sebbene esistano persone con questa altezza ... questo perchè l'altezza delle persone è sì casuale (o meglio, aleatoria ...) ma la sua probabilità non è uniformemente distribuita tra due valori, ma è più alta attorno ad un valore, detto media, e rimane alta in un intervallino [media-S,media+S], dove S^2 è detta varianza, dopo di che, fuori da quell'intervallino va a zero molto in fretta.
Ci sono poi tanti altre cose "casuali", ma non sono tutte a caso nello stesso modo.
Questo per quanto riguarda il problema interpretativo ... poi, ti posso rispondere che la probabilità che il rapporto tra due numeri a caso sia razionale è 0, con la prima interpretazione che ti ho fornito, ovvero quella del rapporto tra lunghezze, ammesso ovviamente che tu fissi un minimo e un massimo in cui scegliere i numeri ... il perchè sia zero, ora non ho tempo di scrivertelo ... semmai più tardi.
Ci sono poi tanti altre cose "casuali", ma non sono tutte a caso nello stesso modo.
Questo per quanto riguarda il problema interpretativo ... poi, ti posso rispondere che la probabilità che il rapporto tra due numeri a caso sia razionale è 0, con la prima interpretazione che ti ho fornito, ovvero quella del rapporto tra lunghezze, ammesso ovviamente che tu fissi un minimo e un massimo in cui scegliere i numeri ... il perchè sia zero, ora non ho tempo di scrivertelo ... semmai più tardi.
Hmm .. più o meno : fissiamo un intervallo a piacere [a,b] e consideriamo i razionali dentro l'intervallo; possiamo ordinarli, visto che sono numerabili : $ q_1,q_2,\ldots $. Ora, dovrebbe apparire ragionevole che, se l'insieme I sta dentro l'intervallo J, la probabilità che un numero venga scelto "a caso" (secondo la prima nozione di casualità, ovvero con probabilità proporzionale alla lunghezza dell'intervallo) e stia dentro I è minore o uguale della probabilità che un numero scelto a caso stia dentro J.
Consideriamo un numero reale positivo k<b-a e gli intervalli $ I_n=\left[ q_n-k2^{-n},q_n+k2^{-n}\right] $ ... la lunghezza dell'ennesimo è $ k2^{-n+1} $ e la loro unione contiene di sicuro tutti i razionali q_i; quindi la probabilità di prendere un punto a caso in [a,b] e che esso cada tra i q_i è minore della probabilità di prendere un punto a caso e che esso cada in uno degli I_n. La probabilità che un punto venga scelto in I_n è dunque $ k2^{-n+1}/(b-a) $ e, ragionevolmente, la probabilità che un punto stia in uno degli I_n sarà minore della somma di tutte queste, che sono una serie geometrica la cui somma è k/(b-a). Quindi la probabilità che un numero sia razionale è minore di k/(b-a), ma k era un qualunque numero positivo e quindi tale probabilità è minore di ogni positivo. Dunque è 0.
Consideriamo un numero reale positivo k<b-a e gli intervalli $ I_n=\left[ q_n-k2^{-n},q_n+k2^{-n}\right] $ ... la lunghezza dell'ennesimo è $ k2^{-n+1} $ e la loro unione contiene di sicuro tutti i razionali q_i; quindi la probabilità di prendere un punto a caso in [a,b] e che esso cada tra i q_i è minore della probabilità di prendere un punto a caso e che esso cada in uno degli I_n. La probabilità che un punto venga scelto in I_n è dunque $ k2^{-n+1}/(b-a) $ e, ragionevolmente, la probabilità che un punto stia in uno degli I_n sarà minore della somma di tutte queste, che sono una serie geometrica la cui somma è k/(b-a). Quindi la probabilità che un numero sia razionale è minore di k/(b-a), ma k era un qualunque numero positivo e quindi tale probabilità è minore di ogni positivo. Dunque è 0.
Di solito, in questo forum bazzicano liceali ... non si presuppone Analisi II.
Del resto, se presti attenzione, noterai che la mia probabilità fatta con le lunghezze è assai simile alla distribuzione di una variabile con densità uniforme a valori in R; del resto, una delle possibili definizioni della misura di lebesgue di un insieme è fatta proprio tramite l'approssimazione con intervalli.
Piuttosto che spiegare la teoria della misura e dimostrare che i numerabili hanno misura di Lebesgue nulla, mi è sembrato meglio fornire una "plausibilizzazione" del fatto, che si potesse ricollegare all'idea intuitiva di probabilità come rapporto tra le lunghezze (o le misure, se vuoi) degli intervalli.
Del resto, se presti attenzione, noterai che la mia probabilità fatta con le lunghezze è assai simile alla distribuzione di una variabile con densità uniforme a valori in R; del resto, una delle possibili definizioni della misura di lebesgue di un insieme è fatta proprio tramite l'approssimazione con intervalli.
Piuttosto che spiegare la teoria della misura e dimostrare che i numerabili hanno misura di Lebesgue nulla, mi è sembrato meglio fornire una "plausibilizzazione" del fatto, che si potesse ricollegare all'idea intuitiva di probabilità come rapporto tra le lunghezze (o le misure, se vuoi) degli intervalli.
Non era una critica, volevo essere sicuro che la mia spiegazione fosse corretta.
Pensavo che in
'Matematica non elementare
'Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...'
quei concetti potessero essere di casa,
ciao e grazie
Pensavo che in
'Matematica non elementare
'Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...'
quei concetti potessero essere di casa,
ciao e grazie
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio