Massiminimizziamo a gradi sfasati

[Boll]

Siano $ a,b,c $ numeri reali non negativi tali che $ a+b+c=3 $.

Determinare massimo e minimo di $ ab+bc+ca-3abc $

[pic88]

sia T l'espressione da massiminimizzare:
per il minimo basta mc laurin:
ab+bc+ca>=3(abc)^2/3>=3abc perchè abc<=1;
molt.Lagrange: (b+c-3bc;a+c-3ac;a+b-3ab)=k(1;1;1) ottieni a=b=c e T=0, che è il minimo ,
il massimo non si trova con lagrange, quindi si presume sia sul controno del dominio, ovvero quando una delle variabili è nulla. si ha ad esempio a=0, T=bc, T<=9/4 per AM-GM, quindi max=9/4 per (0,3/2,3/2) o permutazioni di questa terna.

[Boll]

Non prendiamo il vizio di imbiancare tutto però... Sennò viene un macello, questo esercizio credo sia abbastanza avanzato da poter essere risolto dopo un giorno senza far perdere gli occhi a tutti. Comunque, per pic88, mi risulta quasi tutto ok, a parte una cosa, quando usi i moltiplicatori secondo me perdi soluzioni, il minimassimo potrebbe essere in $ $ \left( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{7}{3}\right) $ e cicliche

[pic88]

l'ho omesso perchè ho semplicemente sostituito tali valori (che ritenevo probabili), ottenendo T=8/9

[Simo_the_wolf]

MAGIA:
diciamo che $ a $ è il massimo
$ ab+bc+ca-3abc \leq \frac 94 $
infatti moltiplicando per 4 e sostituendo abbiamo:
$ 0 \leq (a+b+c)^2 - 4(ac+ab) + 4(3a-1)bc $$ = (b-a+c)^2 + 4(3a-1)bc $
che è vera perchè il RHS è una quantità positiva + un quadrato.
Inoltre l'uguaglianza c'è quando $ c=0 $ e $ a=b $
Ora vediamo come ci si arriva...


unsmoothing...

Chiamiamo $ f(a,b,c)=ab+bc+ca-3abc $

Diciamo WLOG che $ a\geq b \geq c $ allora diciamo che:

$ f(a, c+b ,0 ) \geq f(a,b,c) $
$ a(b+c) \geq ab+bc+ca - 3abc $
$ (3a-1)bc \geq 0 $

che è vera poichè $ a>1 $.

quindi ci basta osservarla in 2 variabili.
$ x+y=3 $ dobbiamo trovare il massimo di $ xy \leq \frac 14 (x+y)^2 =\frac 94 $ che è dunque il massimo.

[darkcrystal]

Per il minimo basta addirittura AM-GM: se a, b o c sono 0 si vede presto che la quantità è non negativa, altrimenti dividendo tutto per abc si ha
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} - 3 \geq 3 \frac{1}{(abc)^{(1/3)}} -3 $$ = 3 / GM - 3 \geq 3/AM - 3 = 3 - 3 = 0 $, da cui la quantità è sempre non negativa. Si vede anche che per (1,1,1) la nostra quantità è 0 che è perciò il minimo.