un facile polinomio

[pic88]

di un polinomio $ p $ si sa che

$ \displaystyle p(0)=0 $

$ p(c^2+1)=[p(c)]^2+1 $

trovare $ p $.

[HumanTorch]

in primo luogo noto che $ x \mid P(x) $;inoltre $ P(x)=x $ funziona, quindi $ P(x)-x $ ha infinite radici, e pertanto deve essere un polinomio costante e pari a 0, quindi $ P(x)=x+C $, $ P(0)=0 $, quindi $ P(x)=x $

[gianmaria]

Considerando la successione delle $ c_i $ definita da $ c_0=0 $ e $ c_{i+1}=c_i}^2+1 $, per ipotesi si ha $ p(c_0)=c_0 $. Supposto poi $ p(c_i)=c_i $, sostituendo nella formula si ottiene $ p(c_{i+1})=c_{i+1} $: quindi i polinomi p(x) e x assumono gli stessi valori in infiniti punti e perciò coincidono