IMO 2006, Problem 3

[Marco]

Determine the least real number $ M $ such that the inequality

$ \left| ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2 - a^2)\right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 $

holds for all real numbers $ a $, $ b $ and $ c $.

[HumanTorch]

dato che non sono sicuro di poter sfruttare complessi in disuguaglianze reali, posto solo un' introduzione:
$ |i|=1 $

sia $ x=a+bi $, $ y=b+ci $, $ z=a+ci $
$ 2\cdot LHS\leq \displaystyle\sum_{cycl} |2ab(a^2-b^2)| $ (disuguaglianza triangolare nel piano complesso applicata 2 volte: questo ci porta a dire che possiamo prendere $ (a,b,c) \in \mathbb{R^+}\cup\{0\} $, essendo presenti solo moduli e potenze pari)$ =\displaystyle\sum_{cycl} \frac{2\cdot |i\cdot a \cdot b \cdot (a^2-b^2)|}{|i|}\leq $$ \displaystyle\sum_{cycl} {(|\frac{a^2+{(ib)}^2+2ab}{2i}|)}^2 $$ \leq \displaystyle \sum_{cycl} {\left ({\frac{|a^2+{(ib)}^2|+2|iab|}{2}\right)}^2\leq $
$ \displaystyle\sum_{cycl} \frac{|({x^2})|}{2} $ $ =\displaystyle\sum_{cycl} \frac{|x|^2}{2} $, da cui CS. Va?

[Marco]

...mmmm.... Quindi M=1? Credo che manchi la parte dell'ottimalità. Riesci a trovare numeri tali per cui valga l'=?

[IMO1stDay]

Humantorch... non illuderti... la costante e' MOLTO, ma MOLTO piu' brutta...

[HumanTorch]

ecchè non lo so?..vabbò, c'ho provato