A partire da questo quadrato, le mosse permesse sono:
- cambiare di segno una riga o una colonna
- cambiare di segno una diagonale o una qualsiasi parallela alla diagonale, quindi vale anche cambiare di segno un angolino.
ad ogni riga e ad ogni diagonale associo il valore assoluto della differenza tra il numero di + ed il numero di - che tale riga o diagonale contiene.
Per ogni configurazione A, indico con |A| la somma dei numeri che ho associato.
Lavoro in $ Z_4 $
nella configurazione iniziale $ A_0 $ ho
3 righe cui associo lo zero (sto lavorano in modulo 4), una riga cui associo il 2,
4 diagonali cui associo 1 (gli angolini) e quattro diagonali cui associo lo 0 (le diagonali). ho altre otto diagonali
a 3 di queste associo il 3
a 3 di queste associo il 2
ad una di queste associo 0
all'altra associo l'1.
sommando ho $ |A_0| = 2+3*3+3*2+1 =2 \mod 4 $
Ora, se cambio una diagonale il numero che associo ad essa resta invariato.
1) se tale diagonale ha 2 elementi, con essa cambio 2 righe (che aumenteranno entrambe di 2), 2 diagonali (che aumenteranno entrambe di 2), e la somma in Z_4 resterà invariata.
2) se tale diagonale ha 3 elementi, cambio 3 righe di 2 e 3 diagonali i 2, la somma sarà $ 12 = 0 \mod 4 $
se tale diagonale ha 4 elementi, cambio 4 righe e 4 diagonali, se ha 1 elemento è un angolino.
se cambio una riga, il numero che associo ad essa resta tale,
cambio però 8 diagonali: , tutte aumentandole di 2 in Z_4 (tranne gli angolini, se ci sono, che restano tali).
Quindi, per ogni $ i $ ho $ |A_i|= 2 \mod 4 $
mentre la configurazione che voglio è $ B $ tale che $ |B|= 0 $ e che non raggiungerò
oppure: considero quegli 8 elementi che si trovano sul bordo del quadrato, ma non negli angoli. Qualsiasi sia la mia mossa, agirò su un numero pari di essi (0 se cambio un angolino, altrimenti 2). QUindi la loro parità non cambia, ed essendoci all'inizio un - e sette +, non si può rendere il quadrato "monosegno".
auricola ha scritto:oppure: considero quegli 8 elementi che si trovano sul bordo del quadrato, ma non negli angoli. Qualsiasi sia la mia mossa, agirò su un numero pari di essi (0 se cambio un angolino, altrimenti 2). QUindi la loro parità non cambia, ed essendoci all'inizio un - e sette +, non si può rendere il quadrato "monosegno".
trovatooooo
pic, un po' più lungo ma comunque ingegnoso (e funzionante, soprattuto) il tuo metodo.
