Banale, giusto per chiarire qualcosa
Banale, giusto per chiarire qualcosa
Un blocchetto di massa m è vincolato ad un piano orizzontale privo di attrito, sul quale si muove con velocità iniziale (orizzontale) V_0 in direzione di un altro blocchetto di massa M (anch'esso vincolato); sotto a quest'ultimo la superficie è rugosa, e rimane tale indefinitamente "al di là" di esso, con cofficienti di attrito statico e dinamico noti: determinare, supponendo l'urto tra i due blocchetti anelastico, quanto vale la distanza percorsa dal sistema dei due lungo la superficie rugosa.
Intanto chiariamo cosa succede durante l'urto:
Urto (completamente) Anaelastico:
Non si Conserva l'Energia Meccanica;
Ci sono Forze Impulsive?
No, perchè si ha la Forza d'Attrito soltanto se il corpo si muove, ma durante l'urto significa in un intervallo di tempo infinitesimo.
Quindi? Si conserva la quantità di moto!
Sia $ m_1 $ la massa del corpo che arriva a velocità $ v_0 $, $ m_2 $ la massa di quell'altro:
$ m_1 v_0 = (m_1 + m_2)v_i $
dove $ v_i $ è la velocità iniziale del sistema dei corpi $ m_1+m_2 $ nel moto successivo.
L'Energia Meccanica è sparita?
No, la differenza di energia cinetica iniziale meno finale è quella delle forze di interazione per far rimanere i corpi attaccati subito dopo l'urto.
Infine $ \frac{1}{2} (m_1 + m_2 v_i^2) $ si trasforma in $ (m1+m2) g \mu_d \cdot L $ da cui $ L $.
Ho sbagliato qlc???
Urto (completamente) Anaelastico:
Non si Conserva l'Energia Meccanica;
Ci sono Forze Impulsive?
No, perchè si ha la Forza d'Attrito soltanto se il corpo si muove, ma durante l'urto significa in un intervallo di tempo infinitesimo.
Quindi? Si conserva la quantità di moto!
Sia $ m_1 $ la massa del corpo che arriva a velocità $ v_0 $, $ m_2 $ la massa di quell'altro:
$ m_1 v_0 = (m_1 + m_2)v_i $
dove $ v_i $ è la velocità iniziale del sistema dei corpi $ m_1+m_2 $ nel moto successivo.
L'Energia Meccanica è sparita?
No, la differenza di energia cinetica iniziale meno finale è quella delle forze di interazione per far rimanere i corpi attaccati subito dopo l'urto.
Infine $ \frac{1}{2} (m_1 + m_2 v_i^2) $ si trasforma in $ (m1+m2) g \mu_d \cdot L $ da cui $ L $.
Ho sbagliato qlc???
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Ciao Gauss, la tua soluzione è identica a quella che ho dato anch'io appena ho visto il problema e sarebbe sicuramente valida se la superficie iniziasse ad essere rugosa "subito dopo" m_2, ma lo è anche sotto di esso! Ora, se mi immagino un coefficiente di attrito statico "enorme", ragionevolmente (opinione mia!) posso intuire che m_2 non pensi proprio di spostarsi da dov'è. Ciò che intendo è che "un pò" di quantità di moto dovrebbe dissiparsi proprio per "far iniziare a muovere" m_2. Ora dimmi tu se ho sbagliato! 
Era proprio il mio dubbio. Pensando di essere rigorosi, dovremmo (penso) scrivere la seguente:marcox^^ ha scritto:Ciao Gauss, la tua soluzione è identica a quella che ho dato anch'io appena ho visto il problema e sarebbe sicuramente valida se la superficie iniziasse ad essere rugosa "subito dopo" m_2, ma lo è anche sotto di esso! Ora, se mi immagino un coefficiente di attrito statico "enorme", ragionevolmente (opinione mia!) posso intuire che m_2 non pensi proprio di spostarsi da dov'è. Ciò che intendo è che "un pò" di quantità di moto dovrebbe dissiparsi proprio per "far iniziare a muovere" m_2. Ora dimmi tu se ho sbagliato!
$ $-\mu_{\mathrm{s}}mg\Delta t=(m+M)v - mv_0 \Rightarrow \mu_{\mathrm{s}}mg \Delta t=mv_0 -(m+M)v$ $ (teorema dell'impulso)
Perché, a rigor di logica, la quantità di moto non si conserva se il sistema non è chiuso o isolato, e purtroppo qui agisce la forza d'attrito e comunque l'urto avviene pur sempre in un intervallo di tempo finito, piccolo ma finito. Se non lo trascuriamo, abbiamo una variabile di troppo... e il problema non funziona.
D'altra parte, è anche esperienza comune... se lancio un sassolino contro una roccia quella non si sposta, l'urto deve "surclassare" la forza d'attrito statico... almeno, secondo me......
Concordo pienamente con il resto, ma non mi è del tutto chiara la formula che hai scritto: la forza di attrito statico in modulo non è uguale al prodotto della reazione normale e dell'accelerazione di gravità, bensì minore o uguale di ciò; come poi essa vari, stante questa limitazione, non so se è noto, di certo non a me. Si è certi che in un caso del genere, per il tempo che essa agisce, assuma costantemente il proprio massimo valore? Se sì, mi potresti spiegare il motivo? Grazie.
Si è certi che in un caso del genere, per il tempo che essa agisce, assuma costantemente il proprio massimo valore? Se sì, mi potresti spiegare il motivo? Grazie.Non è tanto una "certezza" quanto un'"imposizione", credo... noi mettiamo nella somma delle quantità di moto anche l'impulso di tale forza, che supponiamo costante e massima... altrimenti le complicazioni diventano davvero tantissime!marcox^^ ha scritto:Concordo pienamente con il resto, ma non mi è del tutto chiara la formula che hai scritto: la forza di attrito statico in modulo non è uguale al prodotto della reazione normale e dell'accelerazione di gravità, bensì minore o uguale di ciò; come poi essa vari, stante questa limitazione, non so se è noto, di certo non a me.
Il vero problema sta nel fatto che noi possiamo considerare (o meno) $ $\Delta t \rightarrow 0$ $, a mio avviso... poi non so
In realtà è molto semplice la cosa, cioè la forza d'attrito statico controbilancia esattamente la forza diciamo "parallela" impressa sul corpo, finché non raggiunge il suo valore massimo, momento in cui il corpo comincia effettivamente a muoversi ed essere soggetto ad attrito dinamico.poi essa vari, stante questa limitazione, non so se è noto, di certo non a me.
Oggi peraltro parto e vado in vacanza, per cui temo non riuscirò a seguire gli sviluppi della discussione...
...
Avete ragione, è ovvio che se non trascuriamo l'impulso della forza d'attrito statica avremo una variabile in più ed il problema è irrisolubile.Ani-sama ha scritto:Era proprio il mio dubbio. Pensando di essere rigorosi, dovremmo (penso) scrivere la seguente:marcox^^ ha scritto:Ciao Gauss, la tua soluzione è identica a quella che ho dato anch'io appena ho visto il problema e sarebbe sicuramente valida se la superficie iniziasse ad essere rugosa "subito dopo" m_2, ma lo è anche sotto di esso! Ora, se mi immagino un coefficiente di attrito statico "enorme", ragionevolmente (opinione mia!) posso intuire che m_2 non pensi proprio di spostarsi da dov'è. Ciò che intendo è che "un pò" di quantità di moto dovrebbe dissiparsi proprio per "far iniziare a muovere" m_2. Ora dimmi tu se ho sbagliato!
$ $-\mu_{\mathrm{s}}mg\Delta t=(m+M)v - mv_0 \Rightarrow \mu_{\mathrm{s}}mg \Delta t=mv_0 -(m+M)v$ $ (teorema dell'impulso)
Perché, a rigor di logica, la quantità di moto non si conserva se il sistema non è chiuso o isolato, e purtroppo qui agisce la forza d'attrito e comunque l'urto avviene pur sempre in un intervallo di tempo finito, piccolo ma finito. Se non lo trascuriamo, abbiamo una variabile di troppo... e il problema non funziona.
La mia banale risoluzione si basava sul fatto che gli urti 'ideali' si assumono agire in intervalli di tempo infinitesimi, non finiti
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
@Ani-sama: Scusami, mi sono espresso male; intendevo che non ho idea di come la forza di attrito statico vari in questo caso, tuttavia, proprio da ciò che hai detto te, si intende che un infinitesimo prima dell'urto essa è nulla, quindi, non sapendo la modalità precisa (istante per istante) con cui avviene lo scambio di quantità di moto, durante quell'intervallino di tempo, non ero tanto convinto di dargli quel valore fisso; senza considerare poi il fatto che rimane comunque il tempo come variabile di troppo! Comunque la tua spiegazione ci può anche stare, sempre che non abbiamo il tempo come altro dato, visto che la nostra semplificazione credo riduca i tempi di interazione, sempre che essi non siano trascurabili (quanti dubbi!!). Purtroppo (!?) anche io in questi giorni potrò collegarmi poco, buona partenza! 
@Gauss_87: anche io credo che il problema non abbia soluzione (tuttavia, se qualcuno ne trovasse una, sarei molto interessato a leggerla!), infatti l'ho postato proprio perchè mi è sembrato un opposto rispetto alla norma: in questo caso sembra di avere tutto e invece i dati sono insufficienti!
@Gauss_87: anche io credo che il problema non abbia soluzione (tuttavia, se qualcuno ne trovasse una, sarei molto interessato a leggerla!), infatti l'ho postato proprio perchè mi è sembrato un opposto rispetto alla norma: in questo caso sembra di avere tutto e invece i dati sono insufficienti!
Calma, guarda che la semplificazione di intendere il tempo d'urto infinitesimo è lecita, altrimenti potremmo iniziare a dire che non sempre si ha urto perfettamente elastico e tutto cambia!!!marcox^^ ha scritto:la nostra semplificazione credo riduca i tempi di interazione, sempre che essi non siano trascurabili (quanti dubbi!!). Purtroppo (!?) anche io in questi giorni potrò collegarmi poco, buona partenza!
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Secondo me si può fare solo un esperimento per risolvere questo problema... In prima approssimazione si potrebbe supporre che la forza di attrito statico parta da zero all'inizio di Dt ed aumenti linearmente nel tempo fino a raggiungere il massimo alla fine di Dt quando le due masse cominciano a spostarsi e diventa attrito dinamico...Ma siamo sicuri che abbia questo andamento ?... Oppure potremmo partire dal grafico di forza-deformazione dei blocchetti e calcolarci i lavori prodotti fino a che la forza non eguaglia quella di attrito statico e poi applicare il teorema delle forze vive e calcolarci la velocità dei due blocchetti alla fine dell'urto... Comq abbiamo sempre bisogno di esperimenti
Mi riferivo a:Gauss_87 ha scritto:marcox^^ ha scritto:
la nostra semplificazione credo riduca i tempi di interazione, sempre che essi non siano trascurabili (quanti dubbi!!). Purtroppo (!?) anche io in questi giorni potrò collegarmi poco, buona partenza!
Calma, guarda che la semplificazione di intendere il tempo d'urto infinitesimo è lecita, altrimenti potremmo iniziare a dire che non sempre si ha urto perfettamente elastico e tutto cambia!!!
Ani-sama ha scritto:marcox^^ ha scritto:
Concordo pienamente con il resto, ma non mi è del tutto chiara la formula che hai scritto: la forza di attrito statico in modulo non è uguale al prodotto della reazione normale e dell'accelerazione di gravità, bensì minore o uguale di ciò; come poi essa vari, stante questa limitazione, non so se è noto, di certo non a me. Si è certi che in un caso del genere, per il tempo che essa agisce, assuma costantemente il proprio massimo valore? Se sì, mi potresti spiegare il motivo? Grazie.
Non è tanto una "certezza" quanto un'"imposizione", credo... noi mettiamo nella somma delle quantità di moto anche l'impulso di tale forza, che supponiamo costante e massima... altrimenti le complicazioni diventano davvero tantissime!