Siano $ E $ ed $ F $ le proiezioni di $ D $ sui lati $ AB $ ed $ AC $, rispettivamente.
Sia $ P $ l'intersezione di $ BF $ e $ CE $.
Dimostrare che $ AD $ biseca l'angolo $ \angle BAC $ se e solo se $ AP $ è perpendicolare a $ BC $
PreImo Pisa 2005 - G4
PreImo Pisa 2005 - G4
Sia $ ABC $ un triangolo acutangolo e sia $ D $ un punto sul lato $ BC $.
Siano $ E $ ed $ F $ le proiezioni di $ D $ sui lati $ AB $ ed $ AC $, rispettivamente.
Sia $ P $ l'intersezione di $ BF $ e $ CE $.
Dimostrare che $ AD $ biseca l'angolo $ \angle BAC $ se e solo se $ AP $ è perpendicolare a $ BC $
Siano $ E $ ed $ F $ le proiezioni di $ D $ sui lati $ AB $ ed $ AC $, rispettivamente.
Sia $ P $ l'intersezione di $ BF $ e $ CE $.
Dimostrare che $ AD $ biseca l'angolo $ \angle BAC $ se e solo se $ AP $ è perpendicolare a $ BC $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
-
MindFlyer
C'è una via abbastanza straightforward con Ceva e trigonometria.
Io ne propongo una proiettiva.
Sia Q l'intersezione tra AP e BC, e sia $ \Gamma $ la circonferenza circoscritta al quadrilatero AFDE. Ovviamente AD è un diametro di $ \Gamma $. Dobbiamo dimostrare che DF=DE se e solo se Q appartiene a $ \Gamma $.
Sia r la retta per A tangente a $ \Gamma $, e proiettiamo r all'infinito. $ \Gamma $ diventa una parabola con il vertice in D, che per comodità poniamo al centro di un sistema cartesiano, in modo che il segmento DA venga proiettato nel semiasse positivo delle y. Possiamo scalare la figura lungo gli assi in modo che F abbia coordinate (-1, 1), e preservando tutte le proprietà che useremo. La parabola avrà quindi necessariamente equazione $ \Gamma: y=x^2 $. Dopo la proiezione, le rette BF, QP e CE diventano parallele. Poniamo allora B=(-1, a), con $ 0\leq a < 1 $ (vogliamo che l'ABC iniziale sia isoscele, inoltre supponiamo wlog che $ AB\geq AC $). Abbiamo BC: y=-ax, e quindi l'intersezione tra BC e $ \Gamma $ è $ R=(-a, a^2) $.
Nella figura originale valeva FD=FE se e solo se dopo la trasformazione E=(1, 1), in quanto AD resta asse di simmetria di $ \Gamma $. Mentre il fatto che Q appartenga a $ \Gamma $ equivale al fatto che P abbia ascissa -a, come quella di R.
Sia allora $ E=(b, b^2) $ e $ C=(b, -ab) $, con b>0. Calcoliamo le ordinate delle intersezioni di BE e di CF con la retta x=-a, e vediamo quando coincidono. Per BE troviamo $ y=\frac{b^2-ab^2+a^2+ab}{b+1} $, e per CF troviamo $ y=\frac{a^2b-ab+a+b}{b+1} $. Queste due ordinate sono uguali se e solo se l'ascissa di P è -a, e questo accade quando b=1 oppure b=-a (basta risolvere l'equazione di 2° grado in b), ma solo b=1 è accettabile, perché b>0.
Quindi P=(-a, ...) se e solo se E=(1, 1), CVD.
Io ne propongo una proiettiva.
Sia Q l'intersezione tra AP e BC, e sia $ \Gamma $ la circonferenza circoscritta al quadrilatero AFDE. Ovviamente AD è un diametro di $ \Gamma $. Dobbiamo dimostrare che DF=DE se e solo se Q appartiene a $ \Gamma $.
Sia r la retta per A tangente a $ \Gamma $, e proiettiamo r all'infinito. $ \Gamma $ diventa una parabola con il vertice in D, che per comodità poniamo al centro di un sistema cartesiano, in modo che il segmento DA venga proiettato nel semiasse positivo delle y. Possiamo scalare la figura lungo gli assi in modo che F abbia coordinate (-1, 1), e preservando tutte le proprietà che useremo. La parabola avrà quindi necessariamente equazione $ \Gamma: y=x^2 $. Dopo la proiezione, le rette BF, QP e CE diventano parallele. Poniamo allora B=(-1, a), con $ 0\leq a < 1 $ (vogliamo che l'ABC iniziale sia isoscele, inoltre supponiamo wlog che $ AB\geq AC $). Abbiamo BC: y=-ax, e quindi l'intersezione tra BC e $ \Gamma $ è $ R=(-a, a^2) $.
Nella figura originale valeva FD=FE se e solo se dopo la trasformazione E=(1, 1), in quanto AD resta asse di simmetria di $ \Gamma $. Mentre il fatto che Q appartenga a $ \Gamma $ equivale al fatto che P abbia ascissa -a, come quella di R.
Sia allora $ E=(b, b^2) $ e $ C=(b, -ab) $, con b>0. Calcoliamo le ordinate delle intersezioni di BE e di CF con la retta x=-a, e vediamo quando coincidono. Per BE troviamo $ y=\frac{b^2-ab^2+a^2+ab}{b+1} $, e per CF troviamo $ y=\frac{a^2b-ab+a+b}{b+1} $. Queste due ordinate sono uguali se e solo se l'ascissa di P è -a, e questo accade quando b=1 oppure b=-a (basta risolvere l'equazione di 2° grado in b), ma solo b=1 è accettabile, perché b>0.
Quindi P=(-a, ...) se e solo se E=(1, 1), CVD.