Una sfera di raggio $ R $ e densità $ \delta $ cade da ferma nell'aria. La densità dell'aria è $ \rho $. Il campo gravitazionale vale $ g $.
Determinare $ v(t) $ e $ x(t) $.
Problema suggerito da Giorgio - non fidatevi !
Nota: si considerino la spinta di Archimede e la forza d'attrito dell'aria (nella forma $ f=kv^2 $ con $ k $ coefficiente costante noto)
Abetone live... c'è chi si diverte a far cascare palline
$ \displaystyle mg-\rho gV-kv^2=m\dot{v} $
$ \displaystyle a=g(1-\frac{\rho}{\delta}) $
$ \displaystyle b=\frac{3k}{4\pi \delta R^3} $
$ \displaystyle a-bv^2=\dot{v} $
$ \displaystyle c=b/a $
$ \displaystyle a\cdot dt=\frac{dv}{1-cv^2}=\frac{1}{2}(\frac{dv}{1+v\sqrt{c}}+\frac{dv}{1-v\sqrt{c}}) $
Integrando:
$ \displaystyle t=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\cdot ln\frac{1+v\sqrt{b/a}}{1-v\sqrt{b/a}} $
Da cui:
$ \displaystyle v=\sqrt{a/b}\cdot\frac{e^{2\sqrt{ab}\cdot t}-1}{e^{2\sqrt{ab}\cdot t}+1} $
$ \displaystyle x=\frac{1}{b}\cdot ln(e^{2\sqrt{ab}\cdot t}+1) -\sqrt{a/b}\cdot t -\frac{ln 2}{b} $
Il tutto, ovviamente, "modulo" errori di calcolo.
A prevenire eventuali equivoci, non è che io ho fatto il problema e poi ho postato testo e soluzione; il problema mi è stato proposto, io l'ho postato e poi ho fatto la mia soluzione.
$ \displaystyle a=g(1-\frac{\rho}{\delta}) $
$ \displaystyle b=\frac{3k}{4\pi \delta R^3} $
$ \displaystyle a-bv^2=\dot{v} $
$ \displaystyle c=b/a $
$ \displaystyle a\cdot dt=\frac{dv}{1-cv^2}=\frac{1}{2}(\frac{dv}{1+v\sqrt{c}}+\frac{dv}{1-v\sqrt{c}}) $
Integrando:
$ \displaystyle t=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\cdot ln\frac{1+v\sqrt{b/a}}{1-v\sqrt{b/a}} $
Da cui:
$ \displaystyle v=\sqrt{a/b}\cdot\frac{e^{2\sqrt{ab}\cdot t}-1}{e^{2\sqrt{ab}\cdot t}+1} $
$ \displaystyle x=\frac{1}{b}\cdot ln(e^{2\sqrt{ab}\cdot t}+1) -\sqrt{a/b}\cdot t -\frac{ln 2}{b} $
Il tutto, ovviamente, "modulo" errori di calcolo.
A prevenire eventuali equivoci, non è che io ho fatto il problema e poi ho postato testo e soluzione; il problema mi è stato proposto, io l'ho postato e poi ho fatto la mia soluzione.
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giorgiobusoni87
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