Luogo circolare

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 26 lug 2006, 11:56

Da una gara nazionale (vi dirò alla fine di che nazione, o ve l'andate a cercare e non è bello

).

Sia D un punto interno al lato BC di un triangolo fissato ABC. Si considerino le circonferenze inscritte in ABD e DCA, e si prenda la loro tangente esterna comune diversa da BC. L'intersezione di questa tangente con AD è il punto E.
Dimostrare che, al variare di D, i corrispondenti punti E descrivono un arco di circonferenza.

elianto84 · Messaggio da **elianto84** » 30 lug 2006, 01:21

Ma che grazioso problemino!
Chiamo F,G,J,K,M,N le proiezioni dei centri delle circonferenze inscritte
su BC, AD e l'altra tangente. Si ha

ED = EJ+JD = EM+DF
ED = EK+KD = EN+DG
MN = FG

da cui facilmente

ED = FD+DG = ((AD+BD-AB)+(AD+DG-AC))/2

AE = AD-ED = (b+c-a)/2

per cui E viaggia su un arco di circonferenza con centro in A e passante
per le proiezioni dell'incentro di ABC sui lati AB e AC.

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 31 lug 2006, 16:53

A occhio e croce è giusto.
Il problema viene da una USAMO anni '90.