Funzionale da Cortona '01

[pi_greco_quadro]

Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb Q\rightarrow \mathbb Q $ tali che
$ f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\qquad\forall x,y\in\mathbb Q $

[HiTLeuLeR]

Essendo f una qualunque funzione $ \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $, poniamo g = f - 1. Allora f è soluzione dell'equazione proposta sse [1] g(x+y) = g(x) + g(y) + g(x)g(y) - g(xy), per ogni $ x, y \in \mathbb{Q} $. Concentriamoci perciò nel seguito sulla soluzione di quest'ultima. Si trova banalmente g(0) = 0, ponendo x = y = 0 nella [1]. Ne consegue 0 = g(0) = g(1) + g(-1) +g(1)g(-1) - g(-1), i.e. g(1) = 0 oppure g(-1) = -1. D'altra parte, dev'essere in generale g(x+1) = g(x) + g(1) + g(x)g(1) - g(x), i.e. [2] g(x+1) = g(1) + g(x)g(1), per ogni ogni $ x \in \mathbb{Q} $. Se perciò in particolare g(1) = 0, necessariamente g = 0. Sia pertanto d'ora in avanti g(-1) = -1. Ponendo prima x = -2, y = 1 e dopo x = y = -1 nella [1], si deduce in tal caso il sistema $ \left\{\begin{array}{l} -1 = g(1) + g(-2)g(1) \\ g(-2) = -1 - g(1)\end{array} $, da cui rispettivamente g(1) = $ \pm 1 $ e $ g(-2) = -1 \mp 1 $. Mostriamo che, se g(1) = -1, il problema non ammette soluzione. Dalla [2], si avrebbe infatti g(x+1) = g(x) - 1, per ogni $ x \in \mathbb{Q} $, e quindi in particolare 0 = g(0) = g(-1) - 1 = -2. Assurdo! Possiamo pertanto supporre d'ora in avanti g(0) = 0 e g(1) = -g(-1) = 1. Dalla [2] risulta allora [3] g(x+1) = g(x) + 1, per ogni $ x \in \mathbb{Q} $, e da qui per induzione [4] g(x) = x+1, se $ x \in \mathbb{Z} $. Questo implica tramite la [1] che, per ogni $ x \in \mathbb{Q} $ ed ogni $ y \in \mathbb{Z} $. D'altra parte, ancora per induzione, è immediato stabilire che, fissato $ x \in \mathbb{Q} $, vale [5] g(x+y) = g(x) + y, per ogni $ y \in \mathbb{Z} $. Di conseguenza g(x+1/x) = g(1/x) + x, se $ x \in \mathbb{Z} $\{0}, e nondimeno dalla [1] g(x+1/x) = g(1/x) + g(x) + g(1/x)g(x) - g(1), da cui g(1/x) = 1/g(x) = 1/x. A questo punto, considerando che $ z \in \mathbb{Q} $ sse esistono $ x,y \in \mathbb{Z} $, con $ y \ne 0 $, tali che z = x/y, si conclude finalmente che g(x+1/y) = g(x) + g(1/y) + g(x)g(1/y) - g(z), tramite la [1], e quindi g(z) = g(x)g(1/y) = x/y = z, per via della [5]. E in effetti è subito verificato che ambedue le funzioni f = 1 ed $ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}: x \mapsto x+1 $ risolvono l'equazione originale.