Probabilmente, ormai non interessa più a nessuno, comunque, l'ho fatta così:
Step 0. Il claim equivale a chiedere che esista un coniugio tra le orbite di f
(intendo dire una funzione dall'insieme delle orbite in sé, che preservi le cardinalità, cha sia un'involuzione e che non abbia punti fissi).
Dim.: Evidente.
Step 1. Se T è un'orbita, g(T) = h(T), ed è un'orbita della medesima cardinalità di T.
Dim.: Sia $ x_0 \in T $. Considero la successione
$
\cdots \stackrel{h}{\to} x_0 \stackrel{g}{\to} g(x_0) \stackrel{h}{\to} x_1 \stackrel{g}{\to} g(x_1) \stackrel{h}{\to} g_2 \stackrel{g}{\to} \cdots
$
qui l'orbita di $ x_0 $ è $ (\dots, x_{-1}, x_0, x_1, x_2, \dots) $.
Noto che $ f^{-1} = g \circ h $. Ne segue che anche la successione dei $ g(x_i) $ è un'orbita [percorsa in verso contrario]. Gli altri fatti seguono. []
Step 2. Non è possibile che g(T) = T.
Dim.: Supponiamo il contrario. Che cardinalità può avere T? Non può essere finita e dispari (non esistono bigezioni di insiemi dispari di ordine due senza punti fissi). Non può essere finita e pari (si vede con la segnatura delle permutazioni; f è dispari, ma hg è pari). Non può essere infinita.
Infatti: immagino di aver già identificato l'orbita con Z e f con la traslazione $ z \mapsto z+1 $. Utilizzando la successione usata nello Step 1, vedo che la somma $ S_g := x + g(x) $ non dipende dalla scelta di x. Del resto, $ S_g $ non può essere pari, altrimenti $ \frac{S_g}{2} $ risulterebbe un punto fisso di g. Ragionamento analogo vale per h. Inoltre si vede che $ S_h = S_g + 1 $. Ma allora $ S_h $ e $ S_g $ non possono essere entrambi dispari. Contraddizione. []
Step 3. La condizione del claim è necessaria.
Dim.: Dagli Step 1 e 2 segue facilmente che g e h devono poter indurre un coniugio tra orbite. Data T un'orbita, la sua coniugata è g(T). []
Step 4. La condizione del claim è sufficiente.
Dim.: sia c() il coniugio. Immagino, come al solito, di avere identificato le orbite di f come gruppi ciclici, per i quali la restrizione di f è la traslazione di 1. Definisco per ogni orbita T, la funzione $ C: T \to c(T) $ in modo tale che C ristretta a T risulti un isomorfismo di gruppi che mandi 1 in 1. [a parole è complicato, ma in pratica mando ogni punto nel punto che occupa il suo medesimo numero d'ordine nell'orbita coniugata].
Se fate i conti, vedete che g(x) = C(-x) e h(x) = C(1-x) soddisfano le ipotesi. []