Dimostrare che per ogni terna $ (a,b,c) $ di reali positivi si ha che:
$ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9 (ab+bc+ca) $.
Disuguaglianza non omogenea
Non sto a spiegarvi il procedimento che ho seguito perchè fa veramente schifo, comunque, per pura sboroneria, posto la soluzione calata dall'alto.
Chiamo
$ p=a+b+c $
$ q=ab+bc+ca $
$ r=abc $
la quantità che deve essere maggiore o uguale a zero è
$ 4p^2-4pr+2q^2-17q+r^2+8 $
che può essere riscritta come
$ $ \left( \frac{p}{3}-r\right)^2+\frac{35}{9}(p^2-3q)+\frac{10}{9}(q^2-3pr)+\frac{8}{9}(q-3)^2 $
poichè per le disuguaglianze di Newton e McLaurin rispettivamente avremo
$ q^2\ge 3pr $
$ p^2\ge 3q $
Abbiamo finito poichè si è dimostrato che la nostra quantità è una somma di quantità positive o nulle.
Chiamo
$ p=a+b+c $
$ q=ab+bc+ca $
$ r=abc $
la quantità che deve essere maggiore o uguale a zero è
$ 4p^2-4pr+2q^2-17q+r^2+8 $
che può essere riscritta come
$ $ \left( \frac{p}{3}-r\right)^2+\frac{35}{9}(p^2-3q)+\frac{10}{9}(q^2-3pr)+\frac{8}{9}(q-3)^2 $
poichè per le disuguaglianze di Newton e McLaurin rispettivamente avremo
$ q^2\ge 3pr $
$ p^2\ge 3q $
Abbiamo finito poichè si è dimostrato che la nostra quantità è una somma di quantità positive o nulle.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)