Determine all pairs $ (x, y) $ of integers such that
$ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 $.
IMO 2006, Problem 4
IMO 2006, Problem 4
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Questa è la mia soluzione, un po' diversa da quella 'ufficiale' che ho controllato dopo.
Passo 1: escludiamo gli x negativi.
Per x < 0, $ 0 < 2^x \le \frac 12 $, $ 0<2^{2x+1} \le \frac 12 $, quindi $ 1 < LHS \le 2 $ e non ci sono soluzioni.
Passo 2: se x=0 otteniamo le soluzioni (0,2) e (0,-2). D'ora in poi x è diverso da 0.
Passo 3: x è multiplo di 4. (ma forse è inutile)
Modulo 3: 2^(dispari) è congruo a -1 modulo 3, 1 è congruo a 1 modulo 3. Quindi:
$ 2^x \equiv y^2 \pmod 3 $, ma 2^x non è mai multiplo di 3, quindi y^2 è congruo a 1 modulo 3, da cui "x è pari".
Modulo 5: guardando i casi, LHS, con x pari, da un residuo quadratico di 5 solo se x è multipo di 4.
Passo 4: scrivo x=4k e scompongo:
$ 2^{4k}(2^{4k+1}+1) = (y+1)(y-1) $.
Tra (y-1) e (y+1), entrambi pari, uno (e soltanto uno) non è multiplo di 4. Sia A il multiplo di 4 ($ A = y \pm 1 $), B quell'altro. Quindi deve essere che $ 2^{4k-1}|| A, 2 | B $.
Il fattore $ 2^{4k+1}+1 $ contiene solo primi dispari, uno dei quali è sicuramente 3.
Caso 1: nessuno di questi fattori divide A.
Ma allora: $ 2^{4k-1} \le 2^{4k+2} = 2(2^{4k+1}+1)-2 $, e A è minore di B+2, la loro distanza è almeno 3 e quindi non può essere $ A=y-1, B=y+1 $ o viceversa.
Caso 2: un fattore di $ (2^{4k+1}+1) $ divide A. Questo fattore è maggiore o uguale a 3. Allora:
$ \[A \ge 3 \cdot 2^{4k-1} \ge 2(\frac{2^{4k+1} +1}3)+2 \ge B\] $.
Infatti quest'ultimo vale se:
$ 9 \cdot 2^{4k-1} \ge 8 \cdot 2^{4k-1} + 8 $
Spostando di la, scopriamo che possiamo ottenere l'uguaglianza solo con k=1, che del resto ci da le ultime soluzioni: (4,23) e (4,-23).
Per k>1, A > B+2 e quindi non ci sono soluzioni
Altre soluzioni?
Passo 1: escludiamo gli x negativi.
Per x < 0, $ 0 < 2^x \le \frac 12 $, $ 0<2^{2x+1} \le \frac 12 $, quindi $ 1 < LHS \le 2 $ e non ci sono soluzioni.
Passo 2: se x=0 otteniamo le soluzioni (0,2) e (0,-2). D'ora in poi x è diverso da 0.
Passo 3: x è multiplo di 4. (ma forse è inutile)
Modulo 3: 2^(dispari) è congruo a -1 modulo 3, 1 è congruo a 1 modulo 3. Quindi:
$ 2^x \equiv y^2 \pmod 3 $, ma 2^x non è mai multiplo di 3, quindi y^2 è congruo a 1 modulo 3, da cui "x è pari".
Modulo 5: guardando i casi, LHS, con x pari, da un residuo quadratico di 5 solo se x è multipo di 4.
Passo 4: scrivo x=4k e scompongo:
$ 2^{4k}(2^{4k+1}+1) = (y+1)(y-1) $.
Tra (y-1) e (y+1), entrambi pari, uno (e soltanto uno) non è multiplo di 4. Sia A il multiplo di 4 ($ A = y \pm 1 $), B quell'altro. Quindi deve essere che $ 2^{4k-1}|| A, 2 | B $.
Il fattore $ 2^{4k+1}+1 $ contiene solo primi dispari, uno dei quali è sicuramente 3.
Caso 1: nessuno di questi fattori divide A.
Ma allora: $ 2^{4k-1} \le 2^{4k+2} = 2(2^{4k+1}+1)-2 $, e A è minore di B+2, la loro distanza è almeno 3 e quindi non può essere $ A=y-1, B=y+1 $ o viceversa.
Caso 2: un fattore di $ (2^{4k+1}+1) $ divide A. Questo fattore è maggiore o uguale a 3. Allora:
$ \[A \ge 3 \cdot 2^{4k-1} \ge 2(\frac{2^{4k+1} +1}3)+2 \ge B\] $.
Infatti quest'ultimo vale se:
$ 9 \cdot 2^{4k-1} \ge 8 \cdot 2^{4k-1} + 8 $
Spostando di la, scopriamo che possiamo ottenere l'uguaglianza solo con k=1, che del resto ci da le ultime soluzioni: (4,23) e (4,-23).
Per k>1, A > B+2 e quindi non ci sono soluzioni
Altre soluzioni?
Il mio primo problema IMO serio, se quel che ho fatto è giusto!
Si chiedeva di trovare TUTTE le soluzioni intere $ $(x,y)$ $ di:
$ $1+2^x+2^{2x+1}=y^2$ $
Nota: tutte le variabili che userò sono $ $\in \mathbb{Z}$ $
Passo 0
Vediamo il caso $ $x=0$ $. Sostituendo, si ricava facilmente $ $y=\pm 2$ $.
Supponiamo ora $ $|x| > 0$ $.
Passo 1
a) Si ricava facilmente che $ $y$ $ deve essere dispari.
b) $ $x$ $ deve essere pari, in quanto (riscrivo raccogliendo):
$ $2^x(1+2^{x+1})=y^2-1$ $
Può essere che $ $y^2 - 1 \equiv 2 \pmod 3$ $ oppure $ $y^2-1 \equiv 0 \pmod 3$ $. Se però $ $x$ $ fosse dispari, avremmo sicuramente che $ $2^x(1+2^{x+1}) \equiv 2 \cdot 2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod 3$ $ che è un assurdo. Dunque $ $x$ $ è sicuramente pari.
Passo 2
Sia dunque $ $x=2a$ $ e $ $y=2b+1$ $. Sostituendo:
$ $1+2^{2a}+2^{4a+1} = 4b^2+4b+1$ $
da cui, semplificando e raccogliendo:
$ $2^{2a-2}(1+2^{2a+1})=b(b+1)$ $
Notiamo ora che $ $a$ $ deve essere positivo. Se così non fosse, infatti, il membro sinistro risulterebbe frazionario, infatti:
$ $\frac{1}{2^{2-2a}}\left(1+\frac{1}{2^{-2a-1}} \right) = \frac{1+2^{-2a-1}}{2^{1-4a}}$ $
Se $ $a<0$ $, quell'espressione risulta una frazione irriducibile, assurdo poiché il membro destro è senz'altro intero.
Consideriamo ora il caso $ $a=1$ $. Sostituendo, otteniamo $ $5=b(b+1)$ $, che non fornisce soluzioni.
Sia dunque $ $a>1$ $
Passo 2.1
Ora dobbiamo ripartire i fattori. Supponiamo che $ $b$ $ sia pari. Di conseguenza $ $b+1$ $ è dispari. Dunque deve essere che $ $b=2^{2a-2}d$ $, con $ $d$ $ un qualche dispari. Di conseguenza, avremo che $ $b+1=\frac{1+2^{2a+1}}{d}$ $. Da qui possiamo ricavare l'uguaglianza:
$ $2^{2a-2}d = \frac{2^{2a+1}+1}{d} -1$ $
cioè, semplificando i denominatori e raccogliendo:
$ $2^{2a-2}(d^2-8)=1-d$ $
Con $ $d > 0$ $ si ottiene che $ $\mathrm{RHS} \leq 0$ $, che è un assurdo. Sia dunque $ $d < 0$ $. Vediamo i casi piccoli:
$ $d=-1 \Rightarrow -7 \cdot 2^{2a-2}=2$ $, che non dà soluzioni.
$ $d=-3 \Rightarrow 2^{2a-2} = 2^2$ $, che dà la soluzione $ $a=2$ $. Da qui $ $x=4$ $ e, sostituendo, si ricava facilmente $ $y=\pm 23$ $.
Sia ora $ $d \leq -5$ $. Sotto questa ipotesi, abbiamo sicuramente che $ $d^2-8 > 1-d$ $ (è sufficiente svolgere la disequazione di secondo grado). Siccome poi $ $2^{2a-2}$ $ è sicuramente maggiore di $ $1$ $, visto che abbiamo posto $ $a > 1$ $, i due membri risultano sproporzionati, e non ci sono più altre soluzioni!
Passo 2.2
Il ragionamento è del tutto analogo considerando $ $b$ $ dispari e $ $b+1$ $ pari, e si perviene alla stessa unica soluzione con considerazioni del tutto analoghe.
Passo 3
Ricapitolando, le soluzioni intere $ $(x,y)$ $ dell'equazione assegnata sono $ $(0, \pm 2)$ $ e $ $(4, \pm 23)$ $. Fine.
Si chiedeva di trovare TUTTE le soluzioni intere $ $(x,y)$ $ di:
$ $1+2^x+2^{2x+1}=y^2$ $
Nota: tutte le variabili che userò sono $ $\in \mathbb{Z}$ $
Passo 0
Vediamo il caso $ $x=0$ $. Sostituendo, si ricava facilmente $ $y=\pm 2$ $.
Supponiamo ora $ $|x| > 0$ $.
Passo 1
a) Si ricava facilmente che $ $y$ $ deve essere dispari.
b) $ $x$ $ deve essere pari, in quanto (riscrivo raccogliendo):
$ $2^x(1+2^{x+1})=y^2-1$ $
Può essere che $ $y^2 - 1 \equiv 2 \pmod 3$ $ oppure $ $y^2-1 \equiv 0 \pmod 3$ $. Se però $ $x$ $ fosse dispari, avremmo sicuramente che $ $2^x(1+2^{x+1}) \equiv 2 \cdot 2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod 3$ $ che è un assurdo. Dunque $ $x$ $ è sicuramente pari.
Passo 2
Sia dunque $ $x=2a$ $ e $ $y=2b+1$ $. Sostituendo:
$ $1+2^{2a}+2^{4a+1} = 4b^2+4b+1$ $
da cui, semplificando e raccogliendo:
$ $2^{2a-2}(1+2^{2a+1})=b(b+1)$ $
Notiamo ora che $ $a$ $ deve essere positivo. Se così non fosse, infatti, il membro sinistro risulterebbe frazionario, infatti:
$ $\frac{1}{2^{2-2a}}\left(1+\frac{1}{2^{-2a-1}} \right) = \frac{1+2^{-2a-1}}{2^{1-4a}}$ $
Se $ $a<0$ $, quell'espressione risulta una frazione irriducibile, assurdo poiché il membro destro è senz'altro intero.
Consideriamo ora il caso $ $a=1$ $. Sostituendo, otteniamo $ $5=b(b+1)$ $, che non fornisce soluzioni.
Sia dunque $ $a>1$ $
Passo 2.1
Ora dobbiamo ripartire i fattori. Supponiamo che $ $b$ $ sia pari. Di conseguenza $ $b+1$ $ è dispari. Dunque deve essere che $ $b=2^{2a-2}d$ $, con $ $d$ $ un qualche dispari. Di conseguenza, avremo che $ $b+1=\frac{1+2^{2a+1}}{d}$ $. Da qui possiamo ricavare l'uguaglianza:
$ $2^{2a-2}d = \frac{2^{2a+1}+1}{d} -1$ $
cioè, semplificando i denominatori e raccogliendo:
$ $2^{2a-2}(d^2-8)=1-d$ $
Con $ $d > 0$ $ si ottiene che $ $\mathrm{RHS} \leq 0$ $, che è un assurdo. Sia dunque $ $d < 0$ $. Vediamo i casi piccoli:
$ $d=-1 \Rightarrow -7 \cdot 2^{2a-2}=2$ $, che non dà soluzioni.
$ $d=-3 \Rightarrow 2^{2a-2} = 2^2$ $, che dà la soluzione $ $a=2$ $. Da qui $ $x=4$ $ e, sostituendo, si ricava facilmente $ $y=\pm 23$ $.
Sia ora $ $d \leq -5$ $. Sotto questa ipotesi, abbiamo sicuramente che $ $d^2-8 > 1-d$ $ (è sufficiente svolgere la disequazione di secondo grado). Siccome poi $ $2^{2a-2}$ $ è sicuramente maggiore di $ $1$ $, visto che abbiamo posto $ $a > 1$ $, i due membri risultano sproporzionati, e non ci sono più altre soluzioni!
Passo 2.2
Il ragionamento è del tutto analogo considerando $ $b$ $ dispari e $ $b+1$ $ pari, e si perviene alla stessa unica soluzione con considerazioni del tutto analoghe.
Passo 3
Ricapitolando, le soluzioni intere $ $(x,y)$ $ dell'equazione assegnata sono $ $(0, \pm 2)$ $ e $ $(4, \pm 23)$ $. Fine.
...
Posto anche la mia (è il mio primo problema IMO e non mi so trattenere):
1)x negativo non dà soluzioni, in quanto a parte x=-1 (che non dà un quadrato perfetto) gli altri valori conducono a risultati frazionari.
2)x nullo porta alla soluzione x=o, y=2 vel y=-2
3)x positivo: abbiamo che $ 2^x(2^{x+1}+1)=(y+1)(y-1) $ quindi abbiamo che $ 2^{x-1}||y-1 $ oppure $ 2^{x-1}||y+1 $
Ovviamente sia y+1 sia y-1 sono compresi tra $ 2^x $ e $ 2^{x+1}+1 $
L’unico numero con questa caratteristica diviso da $ 2^{x-1} $ e non da $ 2^x $ è $ 3*2^{x-1} $
Stabiliamo che $ y-1=3*2^{x-1} $
Abbiamo che $ 2^x(2^{x+1}+1)=( 3*2^{x-1}+2)( 3*2^{x-1}) $ e quindi che $ -2=2^{x-2} $ che è chiaramente impossibile.
Stabiliamo che $ y+1=3*2^{x-1} $
Abbiamo che $ 2^x(2^{x+1}+1)=( 3*2^{x-1}-2)( 3*2^{x-1}) $ e quindi che $ 4=2^{x-2} $ che ci conduce alla soluzione x=4 e y=23 vel y=-23
1)x negativo non dà soluzioni, in quanto a parte x=-1 (che non dà un quadrato perfetto) gli altri valori conducono a risultati frazionari.
2)x nullo porta alla soluzione x=o, y=2 vel y=-2
3)x positivo: abbiamo che $ 2^x(2^{x+1}+1)=(y+1)(y-1) $ quindi abbiamo che $ 2^{x-1}||y-1 $ oppure $ 2^{x-1}||y+1 $
Ovviamente sia y+1 sia y-1 sono compresi tra $ 2^x $ e $ 2^{x+1}+1 $
L’unico numero con questa caratteristica diviso da $ 2^{x-1} $ e non da $ 2^x $ è $ 3*2^{x-1} $
Stabiliamo che $ y-1=3*2^{x-1} $
Abbiamo che $ 2^x(2^{x+1}+1)=( 3*2^{x-1}+2)( 3*2^{x-1}) $ e quindi che $ -2=2^{x-2} $ che è chiaramente impossibile.
Stabiliamo che $ y+1=3*2^{x-1} $
Abbiamo che $ 2^x(2^{x+1}+1)=( 3*2^{x-1}-2)( 3*2^{x-1}) $ e quindi che $ 4=2^{x-2} $ che ci conduce alla soluzione x=4 e y=23 vel y=-23
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
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Va bene, visto che è stata richiesta... 
1) per $ x<-1 $ vediamo che LHS non è intero
2) verifichiamo a manina per $ x=-1,0,1 $ e troviamo le soluzioni $ (x,y)=(0, \pm 2) $
3) Supponiamo ora $ x \geq 2 $
Osserviamo che $ 2^{2x+1} <y^2 < 2^{2x+1} + 2^{x+1} \sqrt{2} + 1 $
Estraendo la radice quadrata troviamo:
$ 2^x \sqrt{2} < y < 2^x \sqrt{2} +1 $
E quindi $ y= \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor +1 $. Sostituendo troviamo:
$ \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor ( \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor +2 ) = 2^x(2^{x+1}+1) $
Quindi, avendo mcd=2, tra i due fattori a sinistra uno deve avere almeno x-1 fattori 2 che lo dividono.
Ora esprimiamo quest'ultima frase in base 2: vuol dire che uno dei due numeri deve finire con $ x-1 $ zeri. Quindi $ \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor $ può essere di due forme:
- $ ... 00000000 $ (x-1 zeri)
- $ ... 11111110 $ (x-2 uni e uno zero finale)
Ma analizziamo $ \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor $ in base 2: bisogna prendere la radice di 10 e poi spostare la virgola di x posti e troncare la parte decimale. avremo un numero di x+1 cifre e la ultime x-1 devono essere delle forme dette sopra. Sapendo che $ \sqrt{2} _2 = 1,011010... $. Da qui capiamo che per x>4 non potrà mai capitare una stringa buona. Per x=4 invece funziona ed infatti abbiamo la coppia $ (x,y)=(4, \pm 23) $.
1) per $ x<-1 $ vediamo che LHS non è intero
2) verifichiamo a manina per $ x=-1,0,1 $ e troviamo le soluzioni $ (x,y)=(0, \pm 2) $
3) Supponiamo ora $ x \geq 2 $
Osserviamo che $ 2^{2x+1} <y^2 < 2^{2x+1} + 2^{x+1} \sqrt{2} + 1 $
Estraendo la radice quadrata troviamo:
$ 2^x \sqrt{2} < y < 2^x \sqrt{2} +1 $
E quindi $ y= \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor +1 $. Sostituendo troviamo:
$ \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor ( \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor +2 ) = 2^x(2^{x+1}+1) $
Quindi, avendo mcd=2, tra i due fattori a sinistra uno deve avere almeno x-1 fattori 2 che lo dividono.
Ora esprimiamo quest'ultima frase in base 2: vuol dire che uno dei due numeri deve finire con $ x-1 $ zeri. Quindi $ \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor $ può essere di due forme:
- $ ... 00000000 $ (x-1 zeri)
- $ ... 11111110 $ (x-2 uni e uno zero finale)
Ma analizziamo $ \lfloor 2^x \sqrt{2} \rfloor $ in base 2: bisogna prendere la radice di 10 e poi spostare la virgola di x posti e troncare la parte decimale. avremo un numero di x+1 cifre e la ultime x-1 devono essere delle forme dette sopra. Sapendo che $ \sqrt{2} _2 = 1,011010... $. Da qui capiamo che per x>4 non potrà mai capitare una stringa buona. Per x=4 invece funziona ed infatti abbiamo la coppia $ (x,y)=(4, \pm 23) $.