Teorema di Froda

[Piera]

C'è qualcuno che conosce la dimostrazione del teorema di Froda?
Ogni funzione di una variabile reale ha un numero di discontinuità di prima specie al più numerabile.

[Nonno Bassotto]

Sinceramente non mi ricordo quali erano chiamate discontinuita' di prima specie, potresti rinfrescarmelo (penso siano quelle a salto, ma non sono sicuro)? Se fossero quelle a salto sarebbe una genealizzazione del teorema che dice che ogni funzione monotona ha un numero di discontinuita' numerabile, quindi sembra plausibile. Provo a pensarci in questa versione, eventualmente correggimi (o confermami).
Ciao

[EvaristeG]

Piera non se ne avrà a male se rispondo io : sì, le discontinuità di prima specie sono quelle per cui esistono limite destro e sinistro ma non coincidono ... onestamente, il teorema l'avevo già sentito, ma non ho mai visto una dimostrazione.

[SkZ]

Mi sembrava che mi fosse familiare e infatti sul De Marco e' posto come esercizio la dimostrazione della restrizione alle funzioni monotone.
Suggerisce di iniziare a dimostrare che una famiglia disgiunta $ (I_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} $ di intervalli non degeneri di $ \,\mathbb{R} $ ha cardinalita' al piu' numerabile. Poi usare i punti di discontinuita' come estremi dei membri di una famiglia di intervalli.
Mi sembra che il ragionamento dovrebbe andare bene anche in questo caso piu' generale

[EvaristeG]

Nel caso generale gli intervalli non sono disgiunti ... il problema è tutto lì.
La dimostrazione per le funzioni monotone è ben nota del resto.

[SkZ]

cercando di chiederti perche' sono disgiunti mi e' venuto in mente: Sono disgiunti perche' hanno un estremo in comune?

[EvaristeG]

Allora, ripeto : nel caso generale NON sono disgiunti.
Per le monotone, semplicemente si ha che $ \displaystyle{a(x_0)=\lim_{x\tox_0^-}f(x)\leq\lim_{x\to x_0^+}f(x)=b(x_0) $ per ogni x_0; quindi i punti di discontinuità sono associati a intervalli non banali $ (a(x_0),b(x_0)) $ tutti disgiunti (perchè, ovviamente, a(x)>b(y) se x>y) e dunque sono al più numerabili.
Vedi bene che senza la monotonia non funziona nulla.

[SkZ]

Mi ero sbagliato infatti. Stavo pensando al dominio invece che al codominio

[EvaristeG]

Hmm forse ci sono :
prendiamo un punto x t.c. $ f(x^-)\neq f(x^+) $ (supponiamo $ f(x^-)< f(x^+) $)
associamogli : (p,q,r)
p razionale t.c. $ f(x^-)< p <f(x^+) $
q razionale t.c. se $ q< t< x $ allora $ f(t) < p $
r razionale t.c. se $ x< t < r $ allora $ p < f(t) $
ogni terna individua un'unica discontinuità della prima specie, quindi tali discontinuità sono numerabili, al più.

[MindFlyer]

ogni terna individua un'unica discontinuità della prima specie

Se vogliamo fare i pidocchiosi, è sufficiente prendere le coppie (q,r) anziché le terne (p,q,r).

[Piera]

Grazie a tutti!!

[Nonno Bassotto]

Uffa, siete troppo attivi! Stando alla scuola di Gottinga leggo il forum al massimo una volta al giorno, cosi' ogni giorno vedo il testo dei problemi e il giorno dopo ci sono gia' le soluzioni.
Beh, comunque meglio che un forum morto perche' d'estate sono tutti al mare
Ciao a tutti
Andrea

[EvaristeG]

Fondamentalmente, non ho quasi nulla da fare d'estate, in questo paesello lacustre desertificato dalle ferie, quindi (mentre preparo Strocchi&Zannier per settembre) posso dedicarmi un po' al forum ... il resto dell'anno non posto quasi nulla di produttivo.