(da mathlinks ... facile una volta che lo si risolve)
Siano date due circonferenze che si secano in punti distinti A, B; sia C un punto distinto da A e B su una di queste e sia D l'ulteriore intersezione di AC con l'altra.
Siano M, N i punti medi degli archi BC, BD che non contengono A e sia K il punto medio di CD.
Mostrare che il triangolo MNK è rettangolo in K.
(hint : non abbiate paura ad aggiungere parti al disegno)
In medio stat rectitudo
Posto le idee base della mia soluzione, me ne frego volutamente di tutti i problemi di configurazione, che richiedono di orientare gli angoli e fare le cose per bene (anche perche' qui non ho ne' riga ne' compasso, quindi non e' facilissimo...).
Costruiamo il punto C' come il simmetrico di C rispetto a M. Allo stesso modo D' e' il simmetrico di D rispetto a N. La tesi e' equivalente a dimostrare che $ C'D $ e' perpendicolare a $ CD' $ (questo di vede struttando talete, dimpstrando per esempio che KM e' parallelo a C'D)., tracciamo il cerchio passante per M con raggio MC e allo stesso modo il cerchio di raggio ND passante per N. Questi Passano entrambi per B. Consideriamo ora la seconda intersezione tra questi due cerchi, chiamiamola P; dimostro che entrambe le linee C'D e CD' passano per quel punto.
Ora devo andare, finisco stasera... ciau!
Maria
Costruiamo il punto C' come il simmetrico di C rispetto a M. Allo stesso modo D' e' il simmetrico di D rispetto a N. La tesi e' equivalente a dimostrare che $ C'D $ e' perpendicolare a $ CD' $ (questo di vede struttando talete, dimpstrando per esempio che KM e' parallelo a C'D)., tracciamo il cerchio passante per M con raggio MC e allo stesso modo il cerchio di raggio ND passante per N. Questi Passano entrambi per B. Consideriamo ora la seconda intersezione tra questi due cerchi, chiamiamola P; dimostro che entrambe le linee C'D e CD' passano per quel punto.
Ora devo andare, finisco stasera... ciau!
Maria
Ok, finisco...
Per costruzione di P, gli angoli$ \angle CPC' $ e $ \angle DPD' $ sono retti. Basta quindi dimostrare che l'angolo $ \angle CPD $ e' retto e si ha la tesi, perche' P sarebbe l'intersezione delle due linee C'D e CD'. Ora, si hanno le seguenti relazioni (perche' M e N sono i centri delle circonferenze:):
$ \angle CPB= 180- \frac{\angle CMB}{2} $
and
$ \angle DPB= 180- \frac{\angle DNB}{2} $.
Ma si ha anche che (ciclicita' di MBAN):
$ \frac{\angle CMB+ \angle DNB}{2}= \frac {180 - \angle CAB + 180 - \angle DAB }{2}= 180 $, da cui $ \angle CPB +\angle DPB=90 $.
SGopn!
Per costruzione di P, gli angoli$ \angle CPC' $ e $ \angle DPD' $ sono retti. Basta quindi dimostrare che l'angolo $ \angle CPD $ e' retto e si ha la tesi, perche' P sarebbe l'intersezione delle due linee C'D e CD'. Ora, si hanno le seguenti relazioni (perche' M e N sono i centri delle circonferenze:):
$ \angle CPB= 180- \frac{\angle CMB}{2} $
and
$ \angle DPB= 180- \frac{\angle DNB}{2} $.
Ma si ha anche che (ciclicita' di MBAN):
$ \frac{\angle CMB+ \angle DNB}{2}= \frac {180 - \angle CAB + 180 - \angle DAB }{2}= 180 $, da cui $ \angle CPB +\angle DPB=90 $.
SGopn!