Due dadi e una moneta

[Piera]

1) Si lanciano due dadi ripetutamente: qual è la probabilità che la somma dei punti presenti prima il valore 3 del valore 9?

2) Si lancia ripetutamente una moneta. Sia $ P_n $ la probabilità di osservare per la prima volta tre teste consecutive nei lanci $ n-2 $, $ n-1 $, $ n $. Dimostrare che $ P_n=aP_{n-1}+bP_{n-2}+cP_{n-3} $ per $ n>3 $,
dove $ a,b,c $ sono costanti reali da determinare.

[enomis_costa88]

1) Sia P(n) la probabilià di ottenere per la prima volta 3 all'n-esimo lancio senza avere mai ottenuto prima il 9.

Sia Q(n) la probabilià di ottenere per la prima volta 9 all'n-esimo lancio senza avere mai ottenuto prima il 3.

Sia A la probabilità che la somma dei punti presenti prima il valore 3 del valore 9.
Sia B la probabilità che la somma dei punti presenti prima il valore 9 del valore 3.

La probabilità di ottenere 9 in un lancio si calcola a mano ed è $ \frac{4}{36} $
La probabilità di ottenere 3 in un lancio è $ \frac{2}{36} $

Palesemente $ A=\sum_{i=1}^{\infty}P(i) $
e $ B = 1-A=\sum_{i=1}^{\infty}Q(i) $

Sia S(n) la probabilità di non ottenere ne 3 ne 9 nei primi n lanci.

$ Q(n)=S(n-1)\frac{4}{36} $
$ P(n)=S(n-1)\frac{2}{36} $

Ovvero la probabilità P(n) di ottenere per la prima volta 3 all’n-esimo lancio senza avere mai ottenuto prima il 9 è data dalla probabilità di non avere mai ottenuto ne 3 ne 9 nei primi n-1 lanci per quella di ottenere il 3 all’n-esimo lancio.

Analogamente con Q(n).

Ottengo quindi:

$ A=\sum_{i=1}^{\infty}P(i) $ = $ \sum_{i=1}^{\infty}S(i-1)\frac{2}{36} $ = $ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty}S(i-1)\frac{4}{36} $= $ \frac{1}{2}B $
Da cui: $ B=2A=1-A; $
$ 3A=1; $
$ A=\frac{1}{3} $ che è il valore cercato.