Tu scegli base e intero!

[Boll]

Dimostrare che, comunque presi interi $ k,b>1 $, l'intero $ k $, alla base $ b $, ha infiniti multipli che presentano nella rappresentazione (alla base $ b $) soli zeri e uno.

[HiTLeuLeR]

By Euclid's AFT, poniamo $ k = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} $, dove $ r \in \mathbb{Z}^+ $; $ p_1, p_2, \ldots, p_r $ sono primi naturali a due a due distinti; $ \alpha_i $ è un intero positivo, per ogni $ i = 1, 2, \ldots, r $. Restano alura univocamente determinati $ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_r \in \mathbb{N} $ e $ q \in \mathbb{Z}^+ $ tali che $ k = q \cdot \prod_{i=1}^r p_i^{\beta_i} $, per dedurne che l'intero $ \displaystyle b^m \cdot \frac{b^{\varphi(q)}-1}{b-1} $, definitivamente per $ m \in \mathbb{N} $, è un multiplo di $ k $ (solito teorema di Euler-Fermat) la cui rappresentazione posizionale in base $ b $ contiene unicamente le cifre $ 0 $ ed $ 1 $ del sistema $ \{0, 1, \ldots, b-1\} $. The claim follows...

[ficus2002]

l'intero $ \displaystyle b^m \cdot \frac{b^{\varphi(q)}-1}{b-1} $, definitivamente per $ m \in \mathbb{N} $, è un multiplo di $ k $

Non è così: (a parte che non si capisce da dove salta fuori $ \displaystyle q $) per esempio se $ k=3 $ e $ b=10 $, il più piccolo numero contente solo 0 e 1 multiplo di 3 è 111, quindi dovrebbe essere, secondo la tua formula, $ 111=10^0\frac{10^3-1}{10-1} $, ma non esiste nessun $ \displaystyle q $ divisore di 3 la cui $ \displaystyle \varphi $ di Eulero vale 3...quindi la soluzione è sbagliata.

Correzione: sia $ \displaystyle q $ il più grande divisore di $ \displaystyle k $ primo con $ \displaystyle b $. Poichè $ \displaystyle q(b-1) $ è primo con $ \displaystyle b $, per il Teorema di Eulero-Fermat $ q(b-1)\mid b^{\varphi(q(b-1))}-1 $, quindi $ \frac{b^{\varphi{q(b-1)}}-1}{b-1} $ è un multiplo di $ \displaystyle q $. Allora l'intero $ \displaystyle b^m \cdot \frac{b^{\varphi(q(b-1))}-1}{b-1} $, definitivamente per $ m \in \mathbb{N} $, è un multiplo di $ \displaystyle k $ la cui rappresentazione in base $ b $ contiene le sole cifre 0 e 1.

[HiTLeuLeR]

Chi è che si è preso la brida di cancellare un intero pezzo della soluzione che andavo proponendo?! Non ditemelo - il Padre Eterno? Naturale che così com'è non si capisca niente...

[mattilgale]

hit quando spari una cazzata gastronomica è sempre colpa di un admin cattivo che ti cancella le soluzioni, posto la soluzione bellina qui sotto





Consideriamo gli interi 1, 11, 111,... fino al numero formato da k+1 volte 1 (tutti in base b)

per il pigeonhole due di questi sono congrui mod k pertanto la loro differenza (formata da soli 0 e 1) è un multiplo di k, quindi aggiungendo quanti 0 mi pare alla destra del numero così ottenuto ottengo ancora un m ultiplo di k (potevo anche usare "solo" k degli interi formati da tutti 1 ma dovevo parlare di più )

[HiTLeuLeR]

hit quando spari una cazzata gastronomica è sempre colpa di un admin cattivo che ti cancella le soluzioni, posto la soluzione bellina qui sotto [...]

i) Non sapevo di aver bisogno di giustificarmi - alla presunzione e alla supponenza non c'è davvero fine - ne prendo atto e passo oltre.
ii) Nel caso specifico, quand'è che ho fatto il nome degli admin?
iii) Per chiunque abbia mai letto (davvero esistono simili sventurati?!) una qualunque delle soluzioni che ho proposto nel tempo su questo forum, è fin troppo evidente che manca tutto un pezzo della soluzione originale - persino un orbo se ne accorgerebbe.
iv) Bella la tua soluzione!