)Sia k la risposta al quesito. Poiché $ (-1)^{(13-1)/2} = 1 $, -1 è un residuo quadratico mod 13, e le soluzioni in Z dell'equazione congruenziale $ n^2 \equiv -1 \bmod 13 $ sono tutte e sole nella forma $ 13a \pm 5 $. Si tratta a questo punto di contare quanti sono gli interi $ a $ tali che $ 1 \le 13a + 5\le 13000 $ oppure $ 1 \le 13a - 5 \le 13000 $. Un paio di calcoli e si trova k = 1000 + 1000.sv ha scritto:1 - Quanti sono gli interi "n" compresi fra 1 e 1300 tali che n^2 + 1 sia divisibile per 13?
Considerando che tra l'1 gennaio 1900 e l'1 gennaio 1996 passano esattamente 96 anni, e che i bisestili intercorsi fra le date indicate sono in numero pari a 96/4 - 1 = 23 (btw, il 1900 non è bisestile!), si tratta semplicemente di risolvere in Z/7Z l'equazione x + 365*96 + 23 = 0, con la convenzione che 0 -> lunedì, 1 -> martedì, ..., 7 -> domenica. Si calcola senza grossi problemi x = 0, per concluderne che anche l'1 gennaio 1900 è caduto di lunedì.sv ha scritto: 2 - Il primo gennaio 1996 è stato lunedì. che giorno era il primo gennaio del 1900?
Vale a+b = $ 1\underbrace{44\ldots 4}_{1984}3 $, per cui 9(a+b) = 10(a+b) - (a+b) = $ 1\underbrace{44\ldots 4}_{1984}30 - 1\underbrace{44\ldots 4}_{1984}3 = 12\underbrace{99\ldots 9}_{1983}87 $. Detta pertanto s la somma delle cifre decimali di 9(a+b), risulta s = 1 + 2 + 9*1983 + 8 + 7 = 17865.sv ha scritto: 3 - Nella rappresentazione decimale gli interi "a" e "b" consistono rispettivamente in una sequenza di 1985 "otto" e di 1985 "cinque". Qual'è la somma delle cifre dell'intero 9(a+b)?
