Siano M e N i punti medi dei lati AB e CD di un quadrilatero convesso ABCD.
Sapendo che AD = BC = 2 e che <A + <B = 120°, dimostrare che MN = $ \sqrt3 $.
Il quadrilatero 3 - La sfida finale
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darkcrystal
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Poniamo l'origine di un sistema di assi cartesiani in A; sia inoltre <A = $ 60° + \theta $ e <B=$ 60°-\theta $, 2k la lunghezza di AB.
Le coordinate dei punti sono quindi
A(0,0)
B(2k,0)
$ C(2k-2\cos(60°-\theta);2sin(60°-\theta)) $
$ D(2\cos(60°+\theta);2\sin(60°+\theta)) $
M(k;0)
$ N(k-\cos(60°-\theta)+cos(60°+\theta);sin(60°+\theta)+sin(60°-\theta) $
che svolgendo i conti diventa
$ N(k-\sqrt(3) \sin(\theta) ; \sqrt(3) \cos(\theta) ) $
da qui è facile concludere i conti e vedere che la distanza fra M e N è proprio $ \sqrt(3) $
Le coordinate dei punti sono quindi
A(0,0)
B(2k,0)
$ C(2k-2\cos(60°-\theta);2sin(60°-\theta)) $
$ D(2\cos(60°+\theta);2\sin(60°+\theta)) $
M(k;0)
$ N(k-\cos(60°-\theta)+cos(60°+\theta);sin(60°+\theta)+sin(60°-\theta) $
che svolgendo i conti diventa
$ N(k-\sqrt(3) \sin(\theta) ; \sqrt(3) \cos(\theta) ) $
da qui è facile concludere i conti e vedere che la distanza fra M e N è proprio $ \sqrt(3) $
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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La dimostrazione segue questi passi:
1 - Sia I l'intersezione tra AD e BC. Allora ^AIB = 60°.
2 - Calcolo le proiezioni di MN sulle rette AD e BC. Entrambe le proiezioni sono lunghe 3/2.
3 - MN incide AD con un angolo di 30°
4 - $ MN=\sqrt{3} $
Passo 1: da A+B=120° deduciamo C+D=240°, da cui, trovando i supplementari, ^CID = 60°.
Passo 2: C'B' = 2 * cos(60)=1; AD=2; N'M' = C'M' - C'N' = C'B'+B'A/2 - C'D/2 = ... = 3/2. Lo stesso dall'altro lato.
Passo 3: traslo MN in modo che N coincida con I. Applico il criterio di uguaglianza dei triangoli rettangoli. (le proiezioni sono uguali...)
Passo 4: MN =M'N'/cos30 = sqrt(3)