Somme potenze fratte da primi

[Santana]

Dimostrare che per ogni $ s $ intero dispari esiste un polinomio $ P_s(x) $
tale che

$ P_s(p)=\sum_{k=1}^{p-1} [ \frac{k^s}{p} ] $

per ogni numero primo $ p $ ($ [ ] $ indica la parte intera).

In particolare mostrare che

$ \frac{(p-2)(p-1)(p+1)}{4}=\sum_{k=1}^{p-1} [\frac{k^3}{p}] $

Ciao Ciao

[Santana]

Davvero nessuna idea?

[HiTLeuLeR]

Sia $ \displaystyle S := \sum_{k=1}^{p-1} \left\lfloor \frac{k^s}{p}\right\rfloor $. Allora $ \displaystyle S = \sum_{k=1}^{p-1} \left\lfloor \frac{(p-k)^s}{p}\right\rfloor = \sum_{k=1}^{p-1} \left\lfloor \sum_{i=0}^s (-1)^i \binom{s}{i} k^i p^{s-i-1}\right\rfloor $ $ \displaystyle = \sum_{k=1}^{p-1} \sum_{i=0}^{s-1} (-1)^i \binom{s}{i} k^i p^{s-i-1} + \sum_{k=1}^{p-1} \left\lfloor \frac{- k^s}{p}\right\rfloor $, per aver operato la sostituzione di variabile $ k \mapsto p-k $. Da qui $ \displaystyle S = \sum_{k=1}^{p-1} \sum_{i=0}^{s-1} (-1)^i \binom{s}{i} k^i p^{s-i-1} - (p-1) - S $, pur di rammentare che $ \lfloor -x \rfloor = - \lfloor x \rfloor - 1 $, se $ x\in\mathbb{R}\!\setminus\!\mathbb{Z} $. Ne risulta $ S = P_s(p) $, dove $ \displaystyle P_s(x) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{x-1} \sum_{i=0}^{s-1} (-1)^i \binom{s}{i} k^i x^{s-i-1} + \frac{1-x}{2} $.

[Santana]

Sia $ \displaystyle S := \sum_{k=1}^{p-1} \left\lfloor \frac{k^s}{p}\right\rfloor $. Allora $ \displaystyle S = \sum_{k=1}^{p-1} \left\lfloor \frac{(p-k)^s}{p}\right\rfloor = \sum_{k=1}^{p-1} \left\lfloor \sum_{i=0}^s (-1)^i \binom{s}{i} k^i p^{s-i-1}\right\rfloor $ $ \displaystyle = \sum_{k=1}^{p-1} \sum_{i=0}^{s-1} (-1)^i \binom{s}{i} k^i p^{s-i-1} + \sum_{k=1}^{p-1} \left\lfloor \frac{- k^s}{p}\right\rfloor $, per aver operato la sostituzione di variabile $ k \mapsto p-k $. Da qui $ \displaystyle S = \sum_{k=1}^{p-1} \sum_{i=0}^{s-1} (-1)^i \binom{s}{i} k^i p^{s-i-1} - (p-1) - S $, pur di rammentare che $ \lfloor -x \rfloor = - \lfloor x \rfloor - 1 $, se $ x\in\mathbb{R}\!\setminus\!\mathbb{Z} $. Ne risulta $ S = P_s(p) $, dove $ \displaystyle P_s(x) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{x-1} \sum_{i=0}^{s-1} (-1)^i \binom{s}{i} k^i x^{s-i-1} + \frac{1-x}{2} $.

Curiosa!!

Aveo risolto un caso particolare di questo problema molto tempo fa, il mio metodo era differente al tuo ma facilmente generalizzabile

http://www.matematicamente.it/f/viewtop ... meri+primi