f(x)=x^2 non è somma di funzioni periodiche

[pic88]

provare che $ f(x)=x^2 $ non può essere espressa come somma di funzioni periodiche.

[Santana]

provare che $ f(x)=x^2 $ non può essere espressa come somma di funzioni periodiche.

Ehm...il quesito intende somma finita di funzioni periodiche?

Beh in tal caso, se $ f_1(x),f_2(x)...f_n(x) $ sono funzioni periodiche con periodi rispettivamente $ \rho_1,\rho_2...\rho_n $ allora $ f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x) $ ha periodo (non necessariamente minimo) $ \rho_1\rho_2...\rho_n $ e quindi non potrà mai essere uguale a una funzione come $ x^2 $ che periodica non è...

[HiTLeuLeR]

[...] se $ f_1(x),f_2(x)...f_n(x) $ sono funzioni periodiche con periodi rispettivamente $ \rho_1,\rho_2...\rho_n $ allora $ f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x) $ ha periodo (non necessariamente minimo) $ \rho_1\rho_2...\rho_n $ [...]

Se f è costante (e.g. periodica di periodo 0) e g è periodica di periodo T > 0, allora f + g non è certamente periodica di periodo $ 0 \cdot T $... In generale, sia considerato infatti che una funzione $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ si dice periodica di periodo T se $ T = \inf\{t \in \mathbb{R}^+: f(x+t) = f(x), \forall x \in \mathbb{R}\} $, ammesso che l'insieme di cui si intende calcolato l'inf sia non vuoto.

[pic88]

se $ f_1(x),f_2(x)...f_n(x) $ sono funzioni periodiche con periodi rispettivamente $ \rho_1,\rho_2...\rho_n $ allora $ f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x) $ ha periodo (non necessariamente minimo) $ \rho_1\rho_2...\rho_n $

$ \sin x + \cos x $non ha periodo $ 4\pi^2 $

la tua funziona se i periodi sono razionali non nulli, moltiplicando opportunamente la quantità $ \rho_1\rho_2...\rho_n $

[Santana]

se $ f_1(x),f_2(x)...f_n(x) $ sono funzioni periodiche con periodi rispettivamente $ \rho_1,\rho_2...\rho_n $ allora $ f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x) $ ha periodo (non necessariamente minimo) $ \rho_1\rho_2...\rho_n $

$ \sin x + \cos x $non ha periodo $ 4\pi^2 $

la tua funziona se i periodi sono razionali non nulli, moltiplicando opportunamente la quantità $ \rho_1\rho_2...\rho_n $

Si esatto...a forza di lavorare con $ e^z $ ho creduto che tutte le funzioni avessero periodi multipli di $ \pi $.

Mettiamola in un altro modo, ogni funzione periodica ha un valore massimo per cui una somma finita di funzioni periodiche è limitata superiormente e non può corrispondere a una funzione illimitata superiormente.[/tex]

[HiTLeuLeR]

Mettiamola in un altro modo, ogni funzione periodica ha un valore massimo per cui una somma finita di funzioni periodiche è limitata superiormente e non può corrispondere a una funzione illimitata superiormente.

...ma questo è vero se i singoli addendi sono funzioni (periodiche) limitate. Altrimenti?

[HiTLeuLeR]

Lo dimostro nel caso di due addendi: per assurdo, esistano $ f_1, f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, periodiche di periodo $ T_1 $ e $ T_2 $, rispettivamente, tali che $ f = f_1 + f_2 $, dove $ f(x) = x^2 $, per ogni $ x \in \mathbb{R} $. Allora i) $ f(x + T_1 + T_2) = f_1(x + T_2) + f_1(x + T_1) $; ii) $ f(x + T_1) = f_1(x) + f_2(x + T_1) $; iii) $ f(x + T_2) = f_1(x + T_2) + f_2(x) $, per ogni $ x \in\mathbb{R} $. Dunque $ f(x + T_1 + T_2) = f(x + T_2) + f(x + T_1) - f(x) $ in $ \mathbb{R} $, i.e. $ (T_1 + T_2)^2 = T_1^2 + T_2^2 $. Da qui $ T_1 = 0 $ oppure $ T_2 = 0 $. A questo punto resta poco da dire...