Dielettrico in rotazione

[Tamaladissa]

Sono dati 2 cilindri coassiali vuoti di raggio r (quello interno) e R (quello esterno). Entrambi sono lunghi L. Sull'armatura esterna e posizionata una carica +Q, mentre su quella interna e posizionata una carica -Q. Tra le due armature viene posto un dielettrco di costante dielettrica relativa $ \epsilon_r $ e permettivita magnetica relativa $ \mu_r $.

a) Il dielettrco viene posto in rotazione a velocita angolare $ \omega_0 $. Determinare il valore del campo magnetico in tutto lo spazio.

b) Ora il dielettrco viene posto in rotazione ad una velocita angolare pari a $ \omega = \omega_0 e^{\alpha t} , \alpha > 0 $ e . Determinare per quanto tempo e possibile misurare la tensione indotta se il voltmetro ha una scala di $ +/-V $ volt.

[Tamaladissa]

Nessuno fa un tentativo? E cosi brutto come esercizio?

Cosi confrontiamo le soluzioni.

[Gauss_87]

io avrei un "tentativo"..

[tuvok]

Il punto (a) io lo farei così: prima si calcola il campo elettrico in funzione di r con il teorema di gauss, poi si pone forza elettrica (F_E) + forza magnetica (F_B) = forza centripeta e quindi si ricava B da F_B=q*v*B. L'impostazione è corretta secondo voi?

[Gauss_87]

io ho calcolato $ E(r) $ con Gauss.

Poi ho considerato che per una carica in moto con velocità $ \vec{v} $ in un campo elettrico e magnetico vale:

$ \vec{E} = - \vec{v} \times \vec{B} $ da cui $ \vec{B(r)} $ moltiplicando per la permeabilità magnetica relativa.

pensate possa andare?

cmq mi viene $ \displaystyle B(r) = \frac{\mu_r Q}{2 \pi L \epsilon_0 \epsilon_r \omega_0} \frac{1}{r^2} $

per $ R_1 \leq r \leq R_2 $, il verso con la vite destrogira.

[Tamaladissa]

Attenzione: innanzitutto bisogna calcolare le cariche di polarizzazione sul dielettrico!!! Poi da li si calcola la corrente/le correnti dovute alla rotazione del dielettrico. Quando si hanno le correnti si puo passare al campo magnetico, ricordandosi che si puo vedere il tutto come un grande solenoide...

[Gauss_87]

Quindi:

$ \displaystyle B(r) = \frac{\mu_r Q}{2 \pi L \epsilon_0 \epsilon_r \omega_0} \frac{1}{r^2} $

per $ R_1 \leq r \leq R_2 $, il verso con la vite destrogira.

non tiene conto del dielettrico, giusto? La formula vera è diversa?

[Tamaladissa]

Si dimostra (con pochi passaggi) che la relazione tra la polarizzazione e il campo elettrico in un dielettrico è:

$ P= \epsilon_0 (\epsilon_r - 1) E $ da cui si puo ricavare che:

$ Q_p_o_l = -\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r} Q_l_i_b $

Comunque all'interno del solenoide il campo elettrico è uniforme. E quanto vale nel resto dello spazio e perche?

[Gauss_87]

Si dimostra (con pochi passaggi) che la relazione tra la polarizzazione e il campo elettrico in un dielettrico è:

$ P= \epsilon_0 (\epsilon_r - 1) E $ da cui si puo ricavare che:

$ Q_p_o_l = -\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r} Q_l_i_b $

Comunque all'interno del solenoide il campo elettrico è uniforme. E quanto vale nel resto dello spazio e perche?

scusa perchè è uniforme all'interno del dielettrico?

[Tamaladissa]

Perchè quando il dielettrico si mette a ruotare le cariche polarizzate sulla sua superficie si muovono e generano quindi una corrente. Si generano quindi 2 correnti di verso opposto sulla superficie interna e su quella esterna. E' come avere 2 solenoidi concentrici con le spire "dense".. Una volta che si trovano le correnti si può quindi calcolare il campo magnetico ovunque...

[Gab]

Seguendo il consiglio di Tamaladissa si calcolano le due cariche indotte che possiamo immaginare una posizionata intorno al cilindro più piccolo e una appena all'interno del cilindro più grande. Tali cariche valgono in modulo $ Q_i_n_d=(1-\frac{1}{\epsilon_r})Q $ e durante la rotazione del dielettrico esse instaurano due correnti opposte, come si diceva. Tali correnti saranno di pari modulo poichè in un periodo $ T $ transitano attraverso una sezione lo stesso numero di cariche $ Q_i_n_d=(1-\frac{1}{\epsilon_r})Q $. Si avrà una corrente quindi data da $ I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{(1-\frac{1}{\epsilon_r})Q}{\frac{2\pi}{\omega_0}} $.
Possiamo immaginare queste correnti formare due specie di solenoidi (nell'ipotesi che $ L\gg R, L\gg r $). Riadattiamo in questo caso la formula che dà il campo magnetico all'interno di un solenoide nel vuoto ($ B=\frac{\mu_0 I}{L} $) dove $ I $ è la corrente totale che scorre nel solenoide. Nel nostro caso quindi:
$ B=\frac{\mu_0 (1-\frac{1}{\epsilon_r})Q\omega_0}{2\pi L} $.
Considerando la configurazione del sistema e la presenza del dielettrico avremo:
$ B=0 $ all'interno del cilindro più piccolo perchè i due campi magnetici creati dalle correnti sono uguali e opposti e si elidono;
$ B=\frac{\mu_0 \mu_r(1-\frac{1}{\epsilon_r})Q\omega_0}{2\pi L} $ nel dielettrico poichè il campo magnetico generato dalla corrente interna è nullo (all'esterno di un solenoide l'intensità del campo è trascurabile) e rimane solo quello generato da quella esterna.
$ B=0 $ all'esterno del cilindro più grande per gli stessi motivi del primo caso.

Che ne dite?

Ciao a tutti

[Tamaladissa]

Bene, direi che ci siamo adesso! Avanti con l'altro punto allora!