Sia S un insieme finito con una operazione bianaria * (per ogni coppia ordinata di elementi a,b in S è definito un elemento a*b di S). Per questa operazione vale la regola (a*b)*(a*b)=b*a per ogni a, b in S.
1) Dimostrare che a*b=b*a per ogni a, b in S.
Sia T l'insieme degli elementi della forma a*a con a in S.
2) Se b è un qualsiasi elemento di T, dimostrare che b*b=b
Ora supponiamo che valga anche la proprietà associativa: (a*b)*c=a*(b*c) per ogni a,b,c in S.
3) Sia a è un elemento di T. Definiamo l'immagine di a come l'insieme di tutti gli elementi di T che possono essere rappresentati come a*b per qualche b in T. Provare che se c è nell'immagine di a, allora a*c=c.
4) Provare che esiste un elemento a in T tale che l'equazione a*b=a vale per tutti i b in T.
5) Provare che esiste un elemento a in S tale che l'equazione a*b=a vale per ogni b in S.
Algebra astratta
2) Per ogni $ a \in S $.: $ (a*a)*(a*a) = a*a $. Questo prova che, per ogni $ b \in T $: $ b*b = b $. 1) Quali perciò che siano $ a, b \in S $: $ a*b = (b*a)*(b*a) = ((a*b)*(a*b))*((a*b)*(a*b)) $ $ = (a*b)*(a*b) = b*a $.
3) Ammettiamo a questo punto che * sia associativa e che $ c \in T $ appartenga all'immagine di $ a \in T $. Allora esiste $ b \in T $ tale che $ c = a*b $, di modo che $ a*c = a*(a*b) = (a*a)*b = a*b = c $, siccome $ a*a = a $ per costruzione.
EDIT: vedi oltre.
3) Ammettiamo a questo punto che * sia associativa e che $ c \in T $ appartenga all'immagine di $ a \in T $. Allora esiste $ b \in T $ tale che $ c = a*b $, di modo che $ a*c = a*(a*b) = (a*a)*b = a*b = c $, siccome $ a*a = a $ per costruzione.
EDIT: vedi oltre.
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 24 ago 2006, 21:27, modificato 1 volta in totale.
4) Noto soltanto adesso che S dev'essere finito. 
Osserviamo che $ a*b\in T $, per ogni $ a, b \in S $, perché $ (a*b)*(a*b) = b*a = a*b $, in quanto * è commutativa dalla 1). Siano $ S = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} $ e $ T = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\} $, dove ammettiamo $ n = |S| \in \mathbb{N}^+ $ ed $ m = |T| $. Evidentemente $ 0 < m \le n $. Sia quindi $ A_i $ l'immagine di $ \alpha_i $, per ogni i = 1, 2, ..., m. Sotto ipotesi di associatività, $ T $ è chiuso rispetto all'operazione *. Posto $ \alpha = \alpha_1 * \alpha_2 * \dots * \alpha_m $, è chiaro così che $ \alpha \in T $. Inoltre $ \alpha\in \bigcap_{i=1}^m A_i $, i.e. $ \alpha \in A_i $, qualunque sia i = 1, 2, ..., m. Perciò $ \alpha * \beta = \beta * \alpha = \alpha $, per ogni $ \beta \in T $, per via della 3).
Osserviamo che $ a*b\in T $, per ogni $ a, b \in S $, perché $ (a*b)*(a*b) = b*a = a*b $, in quanto * è commutativa dalla 1). Siano $ S = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} $ e $ T = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\} $, dove ammettiamo $ n = |S| \in \mathbb{N}^+ $ ed $ m = |T| $. Evidentemente $ 0 < m \le n $. Sia quindi $ A_i $ l'immagine di $ \alpha_i $, per ogni i = 1, 2, ..., m. Sotto ipotesi di associatività, $ T $ è chiuso rispetto all'operazione *. Posto $ \alpha = \alpha_1 * \alpha_2 * \dots * \alpha_m $, è chiaro così che $ \alpha \in T $. Inoltre $ \alpha\in \bigcap_{i=1}^m A_i $, i.e. $ \alpha \in A_i $, qualunque sia i = 1, 2, ..., m. Perciò $ \alpha * \beta = \beta * \alpha = \alpha $, per ogni $ \beta \in T $, per via della 3).La 4) si può dimostrare anche in questo modo.
Poniamo $ \alpha=\alpha_1*\cdots*\alpha_m $, dove gli $ \alpha_i $ sono tutti gli elementi di T (T è finito perché S è finito) e deduciamo che $ \alpha $ è in T come ha fatto HiTLeuLer.
Se $ b\in T $ si può scrivere $ \alpha=c*b $ dove c è il prodotto di tutti gli elementi di T diversi da b (si può fare questo perchè T è finito), allora $ \alpha*b=(c*b)*b=c*(b*b)=c*b=\alpha $ per la 2).
Rimane da risolvere la 5).
Poniamo $ \alpha=\alpha_1*\cdots*\alpha_m $, dove gli $ \alpha_i $ sono tutti gli elementi di T (T è finito perché S è finito) e deduciamo che $ \alpha $ è in T come ha fatto HiTLeuLer.
Se $ b\in T $ si può scrivere $ \alpha=c*b $ dove c è il prodotto di tutti gli elementi di T diversi da b (si può fare questo perchè T è finito), allora $ \alpha*b=(c*b)*b=c*(b*b)=c*b=\alpha $ per la 2).
Rimane da risolvere la 5).
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Nonno Bassotto
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