SNS 1995

[sqrt2]

c) Questa era la mia soluzione, in cui Winfinito veniva infinito, soluzione che a questo punto non mi sembra più così assurda.

Come per gli altri casi faccio un discorso di forze concentrandomi su una sola massa dm, che chiamo massa di riferimento.
Sommando tutte le forze di attrazione reciproca tra le altre masse (il cui valore è sempre dm) e uguagliando tale valore alla forza centripeta, detto a l'angolo formato tra il diametro e la congiungente della massa di riferimento con l'altra massa, ottengo

$ dm*r*{W_{infinito}}^2 =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac {G dm^2} {(2r cosa)^2}cosa $

$ {W_{infinito}}^2=\frac {G} {4r^3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac {dm} {cosa} $
Siccome la densità lineare dell'anello (per un numero infinito di masse si può approssimare a tale figura il sistema) è supposta uniforme si ha
$ \frac {M}{\pi} = \frac {dm}{da} $
perciò sostituendo
$ {W_{infinito}}^2=\frac {G M} {4\pi r^3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac {da} {cosa} $
Sapendo che $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac {da} {cosa} = ln tg(\frac{x} {2}+ \frac{\pi} {4}) $, si ottiene $ {W_{infinito}} = +\infty $

[David]

in effetti anche a me, dopo aver risolto l'integrale porta $ \omega_\infty=+\infty $.
l'interpretazione fisica del fenomeno ( che mi ha suggerito mio fratello) è che quando le stelle sono infinite e sono una di seguito l'altra qualunque sia la velocità angolare $ \omega $ con cui ruotano le stelle esse tenderanno a collassare in un punto.
mi sembra abbastanza corretta, no?

[NEONEO]

Per il punto tre concordo con Gauss, ovvero basta pensare al sistema come ad un anello di polveri sottili che naturalmente può essere visto come concentrato nel centro del cerchio di raggio R.

[Gauss_87]

ragazzi, qui abbiamo proposto almeno 3 risultati diversi...
forse è meglio riflettere insieme e considerare quale possa essere quella giusta

[Gauss_87]

@gauss87: Forse la stanchezza mi gioca un brutto scherzo.... ma sei sicuro di poter fare quel tipo di soluzione? Non credo che tu possa sostituire le masse col loro c.d.m.

Prova questo: due masse m uguali distanti 4. sull'asse del segmento che le congiunge, a distanza 5 da esso, misuro il campo gravitazionale.

Col tuo metodo: massa equivalente 2m a distanza 5 -> 2Gm/25
Facendolo direttamente: 2*(Gm/29)*5/sqrt(29)

che sono assai diversi!

@fabrizio: certo che sono coincidenti! Sono esattamente la stessa cosa, per definizione. L'errore sta in quello che ho detto prima...

scusami Bacco, potresti spiegarmi meglio il tuo dubbio?

[David]

come già scritto non si può utilizzare il teorema di gauss perchè non si tratta di una superfice sferica.
se quello che dite è giusto deve valere per qualunque numero n di stelle, facciamo un esempio con 3 stelle: il campo generato da ognuna (secondo il metodo classico e ortodosso) è: $ g=\frac {GM} {9r^{2}} $ quindi il campo generato da due stelle in un punto equidistante da entrambe è $ g=2\frac {GM} {9r^{2}} $ mentre calcolando il campo nello stesso punto con il metodo descritto da gauss viene:
$ g_1=\frac{2GM}{3r^{2}{\frac{3}{2}}^{2}}=\frac{8GM}{27r^{2}} $.
il fatto che i due campi abbiano intensità diversa mostra l'evidenza dell'errore.

[Gauss_87]

ho capito di aver sbagliato, le forze cambiano riposizionando le masse...

Che ne pensate di considerare tutte le forze su una massa, ma anche la forza apparente dovuta al fatto che il sistema sta ruotando su se stesso, un po come avviene sulla terra che gira su se stessa ???

[David]

non ho ben capito di quale altra forza tu stia parlando.
su ogni stella non agisce solo la forza gravitazionale delle altre stelle? mi sembra di sì.
il sistema ruota proprio per questo.

[pi greco]

secondo me era giusta l'idea di considerare il c.d.m. coincidente con il centro della circonferenza. la massa presa in considerazione non influenza considerevolmente il c.d.m. e quindi è attratta verso di essa. quindi la velocità angolare alla fine dovrebbe risultare
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \omega_n = \sqrt{\frac{\gamma M}{R^3}} $

[Gauss_87]

secondo me era giusta l'idea di considerare il c.d.m. coincidente con il centro della circonferenza. la massa presa in considerazione non influenza considerevolmente il c.d.m. e quindi è attratta verso di essa. quindi la velocità angolare alla fine dovrebbe risultare
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \omega_n = \sqrt{\frac{\gamma M}{R^3}} $

e questo si era già detto

@David: in un riferimento NON inerziale bisogna anche considerare le forze apparenti.

Ragazzi, parliamo chiaro: se consideriamo solo le forze effettive come se le masse stessero ferme vengono fuori relazioni delle $ \omega_i $ molto differenti tra di loro (invece vorremo risultasse una chiara successione per congetturare $ \omega_n $), quindi qualcosa ci sfugge..

[David]

pi greco ha scritto:
secondo me era giusta l'idea di considerare il c.d.m. coincidente con il centro della circonferenza. la massa presa in considerazione non influenza considerevolmente il c.d.m. e quindi è attratta verso di essa. quindi la velocità angolare alla fine dovrebbe risultare
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \omega_n = \sqrt{\frac{\gamma M}{R^3}} $


e questo si era già detto

si era già detto ma è falso, no?
mi sembra che con i calcoli che ho postato si veda abbastanza facilmente che non è possibile considerare le masse nel centro di massa del sistema. prova a farti un po' di calcoli del campo gravitazionale a distanza d dal centro di massa del sistema nel caso di un punto materiale di massa m e di un sistema di corpi. io li ho fatti, li ho postati e si vede che i risultati sono differenti. questo dovrebbe convincere chiunque che non possiamo considerare i corpi nel centro di massa.

possiamo anche considerare le linee di forza (mi sembra si chiamino così le linee dove il campo ha la stessa intensità in ogni punto) disegnate da un oggetto di massa $ m $ e quelle di 2 oggetti di massa $ \frac{m}{2} $ a distanza d l'una dall'altra. nel primo caso le linee saranno concentriche, nel secondo caso sarà qualcosa come un'ellisse (non so che figura sia ma su due piedi mi sembra sia un ellisse). i due campi sono quindi diversi l'uno dall'altro.

[Gauss_87]

@David: sicuramente non possimao farlo se n è piccolo ma al limite di n che tende a infinito il risulato deve essere quello scritto

$ \displaystyle \omega_n = \sqrt{\frac{\gamma M}{R^3}} $

[David]

io continuo a non essere convinto...
anche perchè (tornando alle formule) non mi sembra ci sia un errore nell'impostazione dell'integrale che ha proposto sqrt2. anche a me sembra di aver scritto un risultato del genere da qualche parte (sempre x colpa del disordine ) e comunque mi ricordo che il risultato era infinito anche nel mio caso.
io direi che tra i due risultati è più "convincente" quello proposto da sqrt2 perchè i calcoli sono fatti senza considerare la presenza (non dimostrata) di una massa nel centro della "ciambella" ma semplicemente considerando le mutue forze gravitazionali.

[NEONEO]

Scusa David, tanto per chiarire: quando hai una distribuzione superficiale di carica su una sfera, di solito cosa fai pewr trovcare il campo esterno? Consideri la distribuzione tutta concentrata nel centro della sfera, e questo lo dimostri facilmente integrando, ma non serve. Quì è uguale essendo la gravità una forza anch'essa come quella elettrica proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. Quindi queste infinite stelle che ruotano su un anello paragonabil a polvere stellare, è logico che un granello è come se non ci fosse e può essere considerato la nostra sonda di campo gravitazionale. E questo anello lo puoi vedere tutto concentratonel suo centro geometrico. Da qui la soluzione di Gauss_87

[NEONEO]

Aggiungo che secondo me è impossibile trovare una relazione in funzione di n numero di stelle, poichè ogni volta che se ne aggiunge una, la distanza da quella originaria di tutte quante varia.