Un altro integrale...
Un altro integrale...
Quanto vale $ \displaystyle{\int\ \frac{dx}{sin^3x} $?
Ultima modifica di sqrt2 il 25 ago 2006, 17:22, modificato 2 volte in totale.
Re: Un'altro integrale...
Scusa, ma quel simbolo cos'è che vuole indicare?sqrt2 ha scritto:Quanto vale $ \displaystyle{\int\ \frac{sin^2x}{dx} $?
Il "dx" a denominatore dell'integranda non s'è mai visto... 
sqrt2 ... risolvi questa equazione :
$ x+\cdot^/-\frac{x}{+}=\int $
Non ha senso, vero?
Allo stesso modo quello che hai scritto tu non ha senso, non è che non si può risolvere ... forse se spieghi da dove ti viene fuori una scrittura bislacca del genere, si può tentare di vedere se si può risolvere o no. E' forse un tentativo di risolvere un'equazione differenziale scrivendo $ y'=dy/dx $ e trattando il tutto come frazione e poi integrando?
$ x+\cdot^/-\frac{x}{+}=\int $
Non ha senso, vero?
Allo stesso modo quello che hai scritto tu non ha senso, non è che non si può risolvere ... forse se spieghi da dove ti viene fuori una scrittura bislacca del genere, si può tentare di vedere se si può risolvere o no. E' forse un tentativo di risolvere un'equazione differenziale scrivendo $ y'=dy/dx $ e trattando il tutto come frazione e poi integrando?
Cosi', a fiuto... (non e' detto sia il metodo piu' semplice)
Scrivi
$ 1=\cos^2 x+\sin^2 x $
Spezza l'integrale, una parte e' l'integrale della cosecante, l'altra la metti in forma razionale ed integri, dovrebbe venirti fuori come riultato, ad occhio, una tangente o cotangente sommata ad un logaritmo di una tangente...
Scrivi
$ 1=\cos^2 x+\sin^2 x $
Spezza l'integrale, una parte e' l'integrale della cosecante, l'altra la metti in forma razionale ed integri, dovrebbe venirti fuori come riultato, ad occhio, una tangente o cotangente sommata ad un logaritmo di una tangente...
$ \displaystyle \int \frac{dx}{\sin^3(x)} = \int \frac{dx}{\sin(x)} + \int \frac{\cos^2(x)}{\sin^3(x)} dx $ $ \displaystyle = \int \frac{dx}{\sin(x)} - \frac{1}{2} \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x)} dx $ $ = \displaystyle \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x)} - \frac{1}{2} \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} $.sqrt2 ha scritto:Quanto vale $ \displaystyle{\int\ \frac{dx}{sin^3x} $?
boh, a me pare più naturale moltiplicare a numeratore e denominatore per $ \text{sen}x $, e poi sostituire $ \cos x = y $, viene un tranquillo integrale di una funzione razionale (tipo $ \frac1{(1-y)^2(1+y)^2} $, e poi si sfrutta la simpatica proprietà $ 1 = \frac{(1+y)+(1-y)}2 $ un paio di volte per separare i fattori a denominatore...
ah, lo stesso approccio si può usare per l'integrale del reciproco del seno, dopo aver fatto quello che ha fatto hit..
ah, lo stesso approccio si può usare per l'integrale del reciproco del seno, dopo aver fatto quello che ha fatto hit..
Poni $ \sin(x)=\dfrac{2t}{1+t^2} $
allora
$ 2dt=\sec^2\left(\dfrac{x}2\right)dx $
da cui
$ \dfrac{2}{1+t^2}dt=dx $ e quindi
$ \int\dfrac{dx}{\sin^3x}=\int\left(\dfrac{1+t^2}{2t}\right)^2\dfrac{dt}{t}= $
$ =\int\left(t+\dfrac{1}{4t^3}+\dfrac{1}{t}\right)dt=\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{1}{8t^2}+\log t $
da cui, sostituendo $ t=\tan\left(\dfrac{x}2\right) $ e facendo un po' di conti
$ -\dfrac18\csc^2\left(\dfrac{x}2\right)+\dfrac18\sec^2\left(\dfrac{x}2\right)-\dfrac12\log\left(\cos\left(\dfrac{x}2\right)\right)+\dfrac12\log\left(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) $
allora
$ 2dt=\sec^2\left(\dfrac{x}2\right)dx $
da cui
$ \dfrac{2}{1+t^2}dt=dx $ e quindi
$ \int\dfrac{dx}{\sin^3x}=\int\left(\dfrac{1+t^2}{2t}\right)^2\dfrac{dt}{t}= $
$ =\int\left(t+\dfrac{1}{4t^3}+\dfrac{1}{t}\right)dt=\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{1}{8t^2}+\log t $
da cui, sostituendo $ t=\tan\left(\dfrac{x}2\right) $ e facendo un po' di conti
$ -\dfrac18\csc^2\left(\dfrac{x}2\right)+\dfrac18\sec^2\left(\dfrac{x}2\right)-\dfrac12\log\left(\cos\left(\dfrac{x}2\right)\right)+\dfrac12\log\left(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) $