La somma dei reciproci dei totativi

[HiTLeuLeR]

Per ogni intero n > 0, siano $ S = \{k \in \overline{1,n}: \gcd(n,k) = 1\} $ ed $ \displaystyle s_n = \sum_{k \in S} \frac{1}{k} $. Provate che $ \displaystyle n $ divide $ s_n $.

Edit: vedi oltre. Comunque il claim di Simo_the_Wolf sul resto modulo n^2/6 è assai più interessante. Per cui potremmo tutti insieme dedicarci a quello e lasciar perdere questo, no?!

[Santana]

Per ogni intero n > 0, siano $ S = \{k \in \overline{1,n}: \gcd(n,k) = 1\} $ ed $ \displaystyle s_n = \sum_{k \in S} \frac{1}{k} $. Provate che $ \displaystyle \frac{n}{2} \phi(n) $ divide $ s_n $, se $ n > 1 $.

solo un chiarimento, $ \overline{1,n}=\{1,2,3...n\} $?

$ s_n $ potrà essere non intero, in tal caso intendi che un intero $ a $ divide un razionale $ x/y $ con $ x,y \in Z $ e $ \gcd(x,y)=1 $ se e solo se $ a|x $?

[Simo_the_wolf]

n=5 contraddizione

Però si può dimostrare che per ogni n con $ n>2 $ si ha $ s_n \equiv 0 \pmod{(n^2/6)} $

Però se intendi che $ \displaystyle s_n=\sum_{i \in S } \prod_{j \in S- \{ i \} } j $ allora forse c'è anche $ \phi (n) $

[HiTLeuLeR]

@Santana: sì, pongo $ \overline{1,n} = \{1,2, \ldots, n\} $. Se x, y sono elementi di un anello qualsivoglia, dico che x divide y se esiste un intero m tale che y = mx.

@Simo_the_Wolf: in realtà non so da dove sia saltata fuori quella frazione! Forse è solo che ho copincollato dal notepad di Mathematica, mentre smanettavo con la totiente di Eulero, e così... Edito subito!!!