Sia b una base intera > 1. Dimostrare che, per ogni $ n \in \mathbb{N}^+ $ tale che $ b \nmid n $, esiste un multiplo m di n tale che la rappresentazione b-esimale di m non contiene alcuna cifra significativa uguale a 0.
EDIT: vedi oltre.
Multipli spogli della cifra 0
Multipli spogli della cifra 0
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 28 ago 2006, 10:29, modificato 2 volte in totale.
Edito subito! :S-
Simo_the_wolf
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Questo va bene fintanto che gcd(n,b) = 1, e di fatto è la stessa idea messa in campo da Simo_the_Wolf relativamente alla prima versione del problema (in bianco). La condizione di coprimalità, tuttavia, è stata definitivamente rimossa, se ci fai un attimo caso, Ev...EvaristeG ha scritto:Sia h l'ordine di b modulo n; allora 1,b,b^2,...,b^(h-1) sono resti distinti modulo n; quindi 1+b+b^2+...+b^(nh-1)==n[1+b+b^2+...+b^(h-1)]==0 (mod n)
E dunque il numero con nh cifre 1 in base b è multiplo di n.
1) Onestamente non me n'ero accorto e non capivo perchè non ti andasse bene quella di simo
2) spiegare non fa mai male
3) Se $ n=kq $ con $ k=(b,n)\leq b-1 $ e $ (q,b)=1 $, esiste m tale che
$ q\vert \sum_{i=0}^mb^i $
e dunque $ n=kq\vert \sum_{i=0}^mkb^i $ (numero con tutte cifre k).
EDIT : eh già ... beh, diciamo che funziona per i numeri n=kq con ... che sono un po' più dei coprimi con b ma un po troppi meno dei non multipli di b.
2) spiegare non fa mai male
3) Se $ n=kq $ con $ k=(b,n)\leq b-1 $ e $ (q,b)=1 $, esiste m tale che
$ q\vert \sum_{i=0}^mb^i $
e dunque $ n=kq\vert \sum_{i=0}^mkb^i $ (numero con tutte cifre k).
EDIT : eh già ... beh, diciamo che funziona per i numeri n=kq con ... che sono un po' più dei coprimi con b ma un po troppi meno dei non multipli di b.
Ultima modifica di EvaristeG il 29 ago 2006, 16:48, modificato 1 volta in totale.
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Simo_the_wolf
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uhm evag...
prendi $ 625 $ e la base $ 10 $.... non funziona molto bene il tuo metodo...
credo che sbagli nel dire che $ b \nmid n $ implichi $ n=kq $ con $ k=(n,b) $ e $ (q,b)=1 $. Non è detto!!! Può darsi che $ n $ contenga più fattori $ p $ di $ b $ e quindi $ q $ deve contenere qualche fattore di b.
prendi $ 625 $ e la base $ 10 $.... non funziona molto bene il tuo metodo...
credo che sbagli nel dire che $ b \nmid n $ implichi $ n=kq $ con $ k=(n,b) $ e $ (q,b)=1 $. Non è detto!!! Può darsi che $ n $ contenga più fattori $ p $ di $ b $ e quindi $ q $ deve contenere qualche fattore di b.
